Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48465 / 50755
↖ ↑ ↗
← S 69.784647°
E 86.226196°		 ← 211.06 m → S 69.784647°
E 86.231689°		 →
↑
211.07 m
↓
↑
211.07 m
↓
S 69.786545°
E 86.226196°		 ← 211.04 m →
44 546 m²		 S 69.786545°
E 86.231689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.739524841308594 y=0.774467468261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.739524841308594 × 216)
    floor (0.739524841308594 × 65536)
    floor (48465.5)     		tx = 48465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774467468261719 × 216)
    floor (0.774467468261719 × 65536)
    floor (50755.5)     		ty = 50755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48465 / 50755 ti = "16/48465/50755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48465/50755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48465 ÷ 216
    48465 ÷ 65536     		x = 0.739517211914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50755 ÷ 216
    50755 ÷ 65536     		y = 0.774459838867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.739517211914062 × 2 - 1) × π
    0.479034423828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.50493103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774459838867188 × 2 - 1) × π
    -0.548919677734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7244820269319
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.50493103} λ = 1.50493103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7244820269319))-π/2
    2×atan(0.178265364520873)-π/2
    2×0.176412234415488-π/2
    0.352824468830976-1.57079632675     		φ = -1.21797186
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.50493103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.226196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21797186 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.784647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48465 KachelY 50755 1.50493103 -1.21797186 86.226196 -69.784647
    Oben rechts KachelX + 1 48466 KachelY 50755 1.50502690 -1.21797186 86.231689 -69.784647
    Unten links KachelX 48465 KachelY + 1 50756 1.50493103 -1.21800499 86.226196 -69.786545
    Unten rechts KachelX + 1 48466 KachelY + 1 50756 1.50502690 -1.21800499 86.231689 -69.786545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21797186--1.21800499) × R
    3.31300000000478e-05 × 6371000     		dl = 211.071230000305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21797186--1.21800499) × R
    3.31300000000478e-05 × 6371000     		dr = 211.071230000305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.50493103-1.50502690) × cos(-1.21797186) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.345549663211148 × 6371000     		do = 211.057508216983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.50493103-1.50502690) × cos(-1.21800499) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.345518573814154 × 6371000     		du = 211.038519193523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21797186)-sin(-1.21800499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345549663211148-0.345518573814154)×R²
    abs(1.50502690-1.50493103)×3.10893969935333e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.10893969935333e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.10893969935333e-05×40589641000000     		ar = 44546.1638457023m²