Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4846 / 3760
↖ ↑ ↗
← N 14.604847°
E 32.958985°		 ← 4 728.60 m → N 14.604847°
E 33.002930°		 →
↑
4 729.07 m
↓
↑
4 729.07 m
↓
N 14.562318°
E 32.958985°		 ← 4 729.51 m →
22 364 022 m²		 N 14.562318°
E 33.002930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59161376953125 y=0.45904541015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59161376953125 × 213)
    floor (0.59161376953125 × 8192)
    floor (4846.5)     		tx = 4846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.45904541015625 × 213)
    floor (0.45904541015625 × 8192)
    floor (3760.5)     		ty = 3760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4846 / 3760 ti = "13/4846/3760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4846/3760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4846 ÷ 213
    4846 ÷ 8192     		x = 0.591552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3760 ÷ 213
    3760 ÷ 8192     		y = 0.458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591552734375 × 2 - 1) × π
    0.18310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57524280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.458984375 × 2 - 1) × π
    0.08203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.257708772357422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57524280} λ = 0.57524280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.257708772357422))-π/2
    2×atan(1.29396192626479)-π/2
    2×0.912849498196993-π/2
    1.82569899639399-1.57079632675     		φ = 0.25490267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57524280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.958985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25490267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.604847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4846 KachelY 3760 0.57524280 0.25490267 32.958985 14.604847
    Oben rechts KachelX + 1 4847 KachelY 3760 0.57600979 0.25490267 33.002930 14.604847
    Unten links KachelX 4846 KachelY + 1 3761 0.57524280 0.25416039 32.958985 14.562318
    Unten rechts KachelX + 1 4847 KachelY + 1 3761 0.57600979 0.25416039 33.002930 14.562318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25490267-0.25416039) × R
    0.000742279999999984 × 6371000     		dl = 4729.0658799999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25490267-0.25416039) × R
    0.000742279999999984 × 6371000     		dr = 4729.0658799999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57524280-0.57600979) × cos(0.25490267) × R
    0.000766989999999912 × 0.96768784215076 × 6371000     		do = 4728.60014748372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57524280-0.57600979) × cos(0.25416039) × R
    0.000766989999999912 × 0.967874742356578 × 6371000     		du = 4729.51343408535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25490267)-sin(0.25416039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96768784215076-0.967874742356578)×R²
    abs(0.57600979-0.57524280)×0.000186900205818574×R²
    0.000766989999999912×0.000186900205818574×6371000²
    0.000766989999999912×0.000186900205818574×40589641000000     		ar = 22364022.140724m²