Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48459 / 51006
↖ ↑ ↗
← S 70.255741°
E 86.193237°		 ← 206.36 m → S 70.255741°
E 86.198731°		 →
↑
206.29 m
↓
↑
206.29 m
↓
S 70.257596°
E 86.193237°		 ← 206.34 m →
42 569 m²		 S 70.257596°
E 86.198731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.739433288574219 y=0.778297424316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.739433288574219 × 216)
    floor (0.739433288574219 × 65536)
    floor (48459.5)     		tx = 48459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778297424316406 × 216)
    floor (0.778297424316406 × 65536)
    floor (51006.5)     		ty = 51006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48459 / 51006 ti = "16/48459/51006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48459/51006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48459 ÷ 216
    48459 ÷ 65536     		x = 0.739425659179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51006 ÷ 216
    51006 ÷ 65536     		y = 0.778289794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.739425659179688 × 2 - 1) × π
    0.478851318359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.50435578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778289794921875 × 2 - 1) × π
    -0.55657958984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.74854635054117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.50435578} λ = 1.50435578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74854635054117))-π/2
    2×atan(0.174026733538874)-π/2
    2×0.172301164775441-π/2
    0.344602329550882-1.57079632675     		φ = -1.22619400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.50435578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.193237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22619400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.255741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48459 KachelY 51006 1.50435578 -1.22619400 86.193237 -70.255741
    Oben rechts KachelX + 1 48460 KachelY 51006 1.50445166 -1.22619400 86.198731 -70.255741
    Unten links KachelX 48459 KachelY + 1 51007 1.50435578 -1.22622638 86.193237 -70.257596
    Unten rechts KachelX + 1 48460 KachelY + 1 51007 1.50445166 -1.22622638 86.198731 -70.257596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22619400--1.22622638) × R
    3.2379999999943e-05 × 6371000     		dl = 206.292979999637m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22619400--1.22622638) × R
    3.2379999999943e-05 × 6371000     		dr = 206.292979999637m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.50435578-1.50445166) × cos(-1.22619400) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.337822410024289 × 6371000     		do = 206.359319140369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.50435578-1.50445166) × cos(-1.22622638) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.337791933471609 × 6371000     		du = 206.340702493058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22619400)-sin(-1.22622638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337822410024289-0.337791933471609)×R²
    abs(1.50445166-1.50435578)×3.0476552680847e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.0476552680847e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.0476552680847e-05×40589641000000     		ar = 42568.5586579591m²