Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48459 / 50742
↖ ↑ ↗
← S 69.759957°
E 86.193237°		 ← 211.33 m → S 69.759957°
E 86.198731°		 →
↑
211.26 m
↓
↑
211.26 m
↓
S 69.761857°
E 86.193237°		 ← 211.31 m →
44 643 m²		 S 69.761857°
E 86.198731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.739433288574219 y=0.774269104003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.739433288574219 × 216)
    floor (0.739433288574219 × 65536)
    floor (48459.5)     		tx = 48459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774269104003906 × 216)
    floor (0.774269104003906 × 65536)
    floor (50742.5)     		ty = 50742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48459 / 50742 ti = "16/48459/50742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48459/50742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48459 ÷ 216
    48459 ÷ 65536     		x = 0.739425659179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50742 ÷ 216
    50742 ÷ 65536     		y = 0.774261474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.739425659179688 × 2 - 1) × π
    0.478851318359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.50435578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774261474609375 × 2 - 1) × π
    -0.54852294921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72323566754178
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.50435578} λ = 1.50435578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72323566754178))-π/2
    2×atan(0.178487685749172)-π/2
    2×0.176627699921731-π/2
    0.353255399843462-1.57079632675     		φ = -1.21754093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.50435578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.193237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21754093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.759957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48459 KachelY 50742 1.50435578 -1.21754093 86.193237 -69.759957
    Oben rechts KachelX + 1 48460 KachelY 50742 1.50445166 -1.21754093 86.198731 -69.759957
    Unten links KachelX 48459 KachelY + 1 50743 1.50435578 -1.21757409 86.193237 -69.761857
    Unten rechts KachelX + 1 48460 KachelY + 1 50743 1.50445166 -1.21757409 86.198731 -69.761857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21754093--1.21757409) × R
    3.31600000000876e-05 × 6371000     		dl = 211.262360000558m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21754093--1.21757409) × R
    3.31600000000876e-05 × 6371000     		dr = 211.262360000558m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.50435578-1.50445166) × cos(-1.21754093) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.345954016026049 × 6371000     		do = 211.326522701317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.50435578-1.50445166) × cos(-1.21757409) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.345922903417145 × 6371000     		du = 211.307517518122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21754093)-sin(-1.21757409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345954016026049-0.345922903417145)×R²
    abs(1.50445166-1.50435578)×3.11126089044267e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.11126089044267e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.11126089044267e-05×40589641000000     		ar = 44643.3323807185m²