Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48450 / 56198
↖ ↑ ↗
← N 24.831610°
W 46.928101°		 ← 277.19 m → N 24.831610°
W 46.925354°		 →
↑
277.20 m
↓
↑
277.20 m
↓
N 24.829117°
W 46.928101°		 ← 277.19 m →
76 838 m²		 N 24.829117°
W 46.925354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369647979736328 y=0.428760528564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369647979736328 × 217)
    floor (0.369647979736328 × 131072)
    floor (48450.5)     		tx = 48450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428760528564453 × 217)
    floor (0.428760528564453 × 131072)
    floor (56198.5)     		ty = 56198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48450 / 56198 ti = "17/48450/56198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48450/56198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48450 ÷ 217
    48450 ÷ 131072     		x = 0.369644165039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56198 ÷ 217
    56198 ÷ 131072     		y = 0.428756713867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369644165039062 × 2 - 1) × π
    -0.260711669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.81904987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428756713867188 × 2 - 1) × π
    0.142486572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.447634768652084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81904987} λ = -0.81904987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.447634768652084))-π/2
    2×atan(1.56460714770875)-π/2
    2×1.0020948430303-π/2
    2.0041896860606-1.57079632675     		φ = 0.43339336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81904987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.928101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43339336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.831610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48450 KachelY 56198 -0.81904987 0.43339336 -46.928101 24.831610
    Oben rechts KachelX + 1 48451 KachelY 56198 -0.81900193 0.43339336 -46.925354 24.831610
    Unten links KachelX 48450 KachelY + 1 56199 -0.81904987 0.43334985 -46.928101 24.829117
    Unten rechts KachelX + 1 48451 KachelY + 1 56199 -0.81900193 0.43334985 -46.925354 24.829117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43339336-0.43334985) × R
    4.35100000000244e-05 × 6371000     		dl = 277.202210000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43339336-0.43334985) × R
    4.35100000000244e-05 × 6371000     		dr = 277.202210000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81904987--0.81900193) × cos(0.43339336) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.907545926367328 × 6371000     		do = 277.187886144545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81904987--0.81900193) × cos(0.43334985) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.907564197656536 × 6371000     		du = 277.193466666572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43339336)-sin(0.43334985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907545926367328-0.907564197656536)×R²
    abs(-0.81900193--0.81904987)×1.82712892080605e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82712892080605e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82712892080605e-05×40589641000000     		ar = 76837.8681032088m²