Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 48448 / 50741
↖ ↑ ↗
← S 69.758056°
E 86.132812°		 ← 211.35 m → S 69.758056°
E 86.138306°		 →
↑
211.33 m
↓
↑
211.33 m
↓
S 69.759957°
E 86.132812°		 ← 211.33 m →
44 661 m²		 S 69.759957°
E 86.138306°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.739265441894531 y=0.774253845214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.739265441894531 × 216)
    floor (0.739265441894531 × 65536)
    floor (48448.5)     		tx = 48448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774253845214844 × 216)
    floor (0.774253845214844 × 65536)
    floor (50741.5)     		ty = 50741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48448 / 50741 ti = "16/48448/50741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48448/50741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48448 ÷ 216
    48448 ÷ 65536     		x = 0.7392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50741 ÷ 216
    50741 ÷ 65536     		y = 0.774246215820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7392578125 × 2 - 1) × π
    0.478515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.50330117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774246215820312 × 2 - 1) × π
    -0.548492431640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.72313979374254
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.50330117} λ = 1.50330117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72313979374254))-π/2
    2×atan(0.178504798862059)-π/2
    2×0.176644284630722-π/2
    0.353288569261443-1.57079632675     		φ = -1.21750776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.50330117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.132812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21750776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.758056°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48448 KachelY 50741 1.50330117 -1.21750776 86.132812 -69.758056
    Oben rechts KachelX + 1 48449 KachelY 50741 1.50339705 -1.21750776 86.138306 -69.758056
    Unten links KachelX 48448 KachelY + 1 50742 1.50330117 -1.21754093 86.132812 -69.759957
    Unten rechts KachelX + 1 48449 KachelY + 1 50742 1.50339705 -1.21754093 86.138306 -69.759957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21750776--1.21754093) × R
    3.31700000000268e-05 × 6371000     		dl = 211.326070000171m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21750776--1.21754093) × R
    3.31700000000268e-05 × 6371000     		dr = 211.326070000171m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.50330117-1.50339705) × cos(-1.21750776) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.345985137636948 × 6371000     		do = 211.345533383395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.50330117-1.50339705) × cos(-1.21754093) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.345954016026049 × 6371000     		du = 211.326522701317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21750776)-sin(-1.21754093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345985137636948-0.345954016026049)×R²
    abs(1.50339705-1.50330117)×3.11216108982437e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.11216108982437e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.11216108982437e-05×40589641000000     		ar = 44660.8122598036m²