Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48445 / 56113
↖ ↑ ↗
← N 25.043304°
W 46.941833°		 ← 276.71 m → N 25.043304°
W 46.939087°		 →
↑
276.69 m
↓
↑
276.69 m
↓
N 25.040816°
W 46.941833°		 ← 276.72 m →
76 565 m²		 N 25.040816°
W 46.939087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48445 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369609832763672 y=0.428112030029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369609832763672 × 217)
    floor (0.369609832763672 × 131072)
    floor (48445.5)     		tx = 48445
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428112030029297 × 217)
    floor (0.428112030029297 × 131072)
    floor (56113.5)     		ty = 56113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48445 / 56113 ti = "17/48445/56113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48445/56113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48445 ÷ 217
    48445 ÷ 131072     		x = 0.369606018066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56113 ÷ 217
    56113 ÷ 131072     		y = 0.428108215332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369606018066406 × 2 - 1) × π
    -0.260787963867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.81928955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428108215332031 × 2 - 1) × π
    0.143783569335938 × 3.1415926535     		Φ = 0.451709405119789
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81928955} λ = -0.81928955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.451709405119789))-π/2
    2×atan(1.5709953590314)-π/2
    2×1.00394221766313-π/2
    2.00788443532625-1.57079632675     		φ = 0.43708811
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81928955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.941833°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43708811 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.043304°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48445 KachelY 56113 -0.81928955 0.43708811 -46.941833 25.043304
    Oben rechts KachelX + 1 48446 KachelY 56113 -0.81924161 0.43708811 -46.939087 25.043304
    Unten links KachelX 48445 KachelY + 1 56114 -0.81928955 0.43704468 -46.941833 25.040816
    Unten rechts KachelX + 1 48446 KachelY + 1 56114 -0.81924161 0.43704468 -46.939087 25.040816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43708811-0.43704468) × R
    4.34299999999554e-05 × 6371000     		dl = 276.692529999716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43708811-0.43704468) × R
    4.34299999999554e-05 × 6371000     		dr = 276.692529999716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81928955--0.81924161) × cos(0.43708811) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.90598811459741 × 6371000     		do = 276.712090332578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81928955--0.81924161) × cos(0.43704468) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.906006497797731 × 6371000     		du = 276.71770503514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43708811)-sin(0.43704468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90598811459741-0.906006497797731)×R²
    abs(-0.81924161--0.81928955)×1.83832003208817e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.83832003208817e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.83832003208817e-05×40589641000000     		ar = 76564.9451408168m²