Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 48444 / 50740
↖ ↑ ↗
← S 69.756156°
E 86.110840°		 ← 211.34 m → S 69.756156°
E 86.116333°		 →
↑
211.33 m
↓
↑
211.33 m
↓
S 69.758056°
E 86.110840°		 ← 211.32 m →
44 660 m²		 S 69.758056°
E 86.116333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.739204406738281 y=0.774238586425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.739204406738281 × 216)
    floor (0.739204406738281 × 65536)
    floor (48444.5)     		tx = 48444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774238586425781 × 216)
    floor (0.774238586425781 × 65536)
    floor (50740.5)     		ty = 50740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48444 / 50740 ti = "16/48444/50740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48444/50740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48444 ÷ 216
    48444 ÷ 65536     		x = 0.73919677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50740 ÷ 216
    50740 ÷ 65536     		y = 0.77423095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.73919677734375 × 2 - 1) × π
    0.4783935546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.50291768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77423095703125 × 2 - 1) × π
    -0.5484619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7230439199433
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.50291768} λ = 1.50291768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7230439199433))-π/2
    2×atan(0.178521913615724)-π/2
    2×0.176660870831618-π/2
    0.353321741663235-1.57079632675     		φ = -1.21747459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.50291768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.110840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21747459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.756156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48444 KachelY 50740 1.50291768 -1.21747459 86.110840 -69.756156
    Oben rechts KachelX + 1 48445 KachelY 50740 1.50301355 -1.21747459 86.116333 -69.756156
    Unten links KachelX 48444 KachelY + 1 50741 1.50291768 -1.21750776 86.110840 -69.758056
    Unten rechts KachelX + 1 48445 KachelY + 1 50741 1.50301355 -1.21750776 86.116333 -69.758056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21747459--1.21750776) × R
    3.31700000000268e-05 × 6371000     		dl = 211.326070000171m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21747459--1.21750776) × R
    3.31700000000268e-05 × 6371000     		dr = 211.326070000171m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.50291768-1.50301355) × cos(-1.21747459) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.346016258867176 × 6371000     		do = 211.342499137221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.50291768-1.50301355) × cos(-1.21750776) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.345985137636948 × 6371000     		du = 211.32349067041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21747459)-sin(-1.21750776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346016258867176-0.345985137636948)×R²
    abs(1.50301355-1.50291768)×3.11212302284702e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.11212302284702e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.11212302284702e-05×40589641000000     		ar = 44660.1712783596m²