Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48442 / 50746
↖ ↑ ↗
← S 69.767556°
E 86.099854°		 ← 211.23 m → S 69.767556°
E 86.105347°		 →
↑
211.26 m
↓
↑
211.26 m
↓
S 69.769456°
E 86.099854°		 ← 211.21 m →
44 623 m²		 S 69.769456°
E 86.105347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.739173889160156 y=0.774330139160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.739173889160156 × 216)
    floor (0.739173889160156 × 65536)
    floor (48442.5)     		tx = 48442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774330139160156 × 216)
    floor (0.774330139160156 × 65536)
    floor (50746.5)     		ty = 50746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48442 / 50746 ti = "16/48442/50746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48442/50746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48442 ÷ 216
    48442 ÷ 65536     		x = 0.739166259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50746 ÷ 216
    50746 ÷ 65536     		y = 0.774322509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.739166259765625 × 2 - 1) × π
    0.47833251953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.50272593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774322509765625 × 2 - 1) × π
    -0.54864501953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.72361916273874
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.50272593} λ = 1.50272593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72361916273874))-π/2
    2×atan(0.178419249702257)-π/2
    2×0.176561376002503-π/2
    0.353122752005007-1.57079632675     		φ = -1.21767357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.50272593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.099854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21767357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.767556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48442 KachelY 50746 1.50272593 -1.21767357 86.099854 -69.767556
    Oben rechts KachelX + 1 48443 KachelY 50746 1.50282180 -1.21767357 86.105347 -69.767556
    Unten links KachelX 48442 KachelY + 1 50747 1.50272593 -1.21770673 86.099854 -69.769456
    Unten rechts KachelX + 1 48443 KachelY + 1 50747 1.50282180 -1.21770673 86.105347 -69.769456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21767357--1.21770673) × R
    3.31599999998655e-05 × 6371000     		dl = 211.262359999143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21767357--1.21770673) × R
    3.31599999998655e-05 × 6371000     		dr = 211.262359999143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.50272593-1.50282180) × cos(-1.21767357) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.345829563308338 × 6371000     		do = 211.228467773169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.50272593-1.50282180) × cos(-1.21770673) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.345798449178151 × 6371000     		du = 211.209463642977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21767357)-sin(-1.21770673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345829563308338-0.345798449178151)×R²
    abs(1.50282180-1.50272593)×3.11141301863049e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.11141301863049e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.11141301863049e-05×40589641000000     		ar = 44622.6171762108m²