Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4844 / 3757
↖ ↑ ↗
← N 14.732386°
E 32.871093°		 ← 4 725.91 m → N 14.732386°
E 32.915039°		 →
↑
4 726.26 m
↓
↑
4 726.26 m
↓
N 14.689882°
E 32.871093°		 ← 4 726.83 m →
22 338 056 m²		 N 14.689882°
E 32.915039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59136962890625 y=0.45867919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59136962890625 × 213)
    floor (0.59136962890625 × 8192)
    floor (4844.5)     		tx = 4844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.45867919921875 × 213)
    floor (0.45867919921875 × 8192)
    floor (3757.5)     		ty = 3757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4844 / 3757 ti = "13/4844/3757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4844/3757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4844 ÷ 213
    4844 ÷ 8192     		x = 0.59130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3757 ÷ 213
    3757 ÷ 8192     		y = 0.4586181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59130859375 × 2 - 1) × π
    0.1826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57370881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4586181640625 × 2 - 1) × π
    0.082763671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.260009743539185
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57370881} λ = 0.57370881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.260009743539185))-π/2
    2×atan(1.29694272341645)-π/2
    2×0.913962485291723-π/2
    1.82792497058345-1.57079632675     		φ = 0.25712864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57370881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.871093°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25712864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.732386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4844 KachelY 3757 0.57370881 0.25712864 32.871093 14.732386
    Oben rechts KachelX + 1 4845 KachelY 3757 0.57447581 0.25712864 32.915039 14.732386
    Unten links KachelX 4844 KachelY + 1 3758 0.57370881 0.25638680 32.871093 14.689882
    Unten rechts KachelX + 1 4845 KachelY + 1 3758 0.57447581 0.25638680 32.915039 14.689882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25712864-0.25638680) × R
    0.000741839999999994 × 6371000     		dl = 4726.26263999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25712864-0.25638680) × R
    0.000741839999999994 × 6371000     		dr = 4726.26263999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57370881-0.57447581) × cos(0.25712864) × R
    0.000767000000000073 × 0.967124164134685 × 6371000     		do = 4725.90735412195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57370881-0.57447581) × cos(0.25638680) × R
    0.000767000000000073 × 0.967312551356243 × 6371000     		du = 4726.82791901816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25712864)-sin(0.25638680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.967124164134685-0.967312551356243)×R²
    abs(0.57447581-0.57370881)×0.000188387221558006×R²
    0.000767000000000073×0.000188387221558006×6371000²
    0.000767000000000073×0.000188387221558006×40589641000000     		ar = 22338055.8080619m²