Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48438 / 56166
↖ ↑ ↗
← N 24.911350°
W 46.961060°		 ← 277.01 m → N 24.911350°
W 46.958313°		 →
↑
277.01 m
↓
↑
277.01 m
↓
N 24.908858°
W 46.961060°		 ← 277.01 m →
76 735 m²		 N 24.908858°
W 46.958313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369556427001953 y=0.428516387939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369556427001953 × 217)
    floor (0.369556427001953 × 131072)
    floor (48438.5)     		tx = 48438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428516387939453 × 217)
    floor (0.428516387939453 × 131072)
    floor (56166.5)     		ty = 56166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48438 / 56166 ti = "17/48438/56166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48438/56166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48438 ÷ 217
    48438 ÷ 131072     		x = 0.369552612304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56166 ÷ 217
    56166 ÷ 131072     		y = 0.428512573242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369552612304688 × 2 - 1) × π
    -0.260894775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.81962511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428512573242188 × 2 - 1) × π
    0.142974853515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.449168749439926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81962511} λ = -0.81962511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.449168749439926))-π/2
    2×atan(1.56700906679172)-π/2
    2×1.00279069765467-π/2
    2.00558139530933-1.57079632675     		φ = 0.43478507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81962511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.961060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43478507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.911350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48438 KachelY 56166 -0.81962511 0.43478507 -46.961060 24.911350
    Oben rechts KachelX + 1 48439 KachelY 56166 -0.81957717 0.43478507 -46.958313 24.911350
    Unten links KachelX 48438 KachelY + 1 56167 -0.81962511 0.43474159 -46.961060 24.908858
    Unten rechts KachelX + 1 48439 KachelY + 1 56167 -0.81957717 0.43474159 -46.958313 24.908858
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43478507-0.43474159) × R
    4.34799999999846e-05 × 6371000     		dl = 277.011079999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43478507-0.43474159) × R
    4.34799999999846e-05 × 6371000     		dr = 277.011079999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81962511--0.81957717) × cos(0.43478507) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.906960595089817 × 6371000     		do = 277.009110906608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81962511--0.81957717) × cos(0.43474159) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.906978908681488 × 6371000     		du = 277.014704348896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43478507)-sin(0.43474159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906960595089817-0.906978908681488)×R²
    abs(-0.81957717--0.81962511)×1.83135916709265e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.83135916709265e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.83135916709265e-05×40589641000000     		ar = 76735.3677168747m²