Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48431 / 54323
↖ ↑ ↗
← N 29.413283°
W 46.980286°		 ← 266.06 m → N 29.413283°
W 46.977539°		 →
↑
266.05 m
↓
↑
266.05 m
↓
N 29.410890°
W 46.980286°		 ← 266.06 m →
70 786 m²		 N 29.410890°
W 46.977539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369503021240234 y=0.414455413818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369503021240234 × 217)
    floor (0.369503021240234 × 131072)
    floor (48431.5)     		tx = 48431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414455413818359 × 217)
    floor (0.414455413818359 × 131072)
    floor (54323.5)     		ty = 54323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48431 / 54323 ti = "17/48431/54323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48431/54323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48431 ÷ 217
    48431 ÷ 131072     		x = 0.369499206542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54323 ÷ 217
    54323 ÷ 131072     		y = 0.414451599121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369499206542969 × 2 - 1) × π
    -0.261001586914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.81996067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414451599121094 × 2 - 1) × π
    0.171096801757812 × 3.1415926535     		Φ = 0.53751645543969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.81996067} λ = -0.81996067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.53751645543969))-π/2
    2×atan(1.7117503704581)-π/2
    2×1.0420774790558-π/2
    2.0841549581116-1.57079632675     		φ = 0.51335863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.81996067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.980286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51335863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.413283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48431 KachelY 54323 -0.81996067 0.51335863 -46.980286 29.413283
    Oben rechts KachelX + 1 48432 KachelY 54323 -0.81991273 0.51335863 -46.977539 29.413283
    Unten links KachelX 48431 KachelY + 1 54324 -0.81996067 0.51331687 -46.980286 29.410890
    Unten rechts KachelX + 1 48432 KachelY + 1 54324 -0.81991273 0.51331687 -46.977539 29.410890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51335863-0.51331687) × R
    4.17600000000018e-05 × 6371000     		dl = 266.052960000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51335863-0.51331687) × R
    4.17600000000018e-05 × 6371000     		dr = 266.052960000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.81996067--0.81991273) × cos(0.51335863) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.871099981534649 × 6371000     		do = 266.056356474032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.81996067--0.81991273) × cos(0.51331687) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.871120489349699 × 6371000     		du = 266.062620088619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51335863)-sin(0.51331687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871099981534649-0.871120489349699)×R²
    abs(-0.81991273--0.81996067)×2.05078150495863e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.05078150495863e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.05078150495863e-05×40589641000000     		ar = 70785.9144036821m²