Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48430 / 56078
↖ ↑ ↗
← N 25.130366°
W 46.983032°		 ← 276.46 m → N 25.130366°
W 46.980286°		 →
↑
276.50 m
↓
↑
276.50 m
↓
N 25.127879°
W 46.983032°		 ← 276.46 m →
76 442 m²		 N 25.127879°
W 46.980286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369495391845703 y=0.427845001220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369495391845703 × 217)
    floor (0.369495391845703 × 131072)
    floor (48430.5)     		tx = 48430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427845001220703 × 217)
    floor (0.427845001220703 × 131072)
    floor (56078.5)     		ty = 56078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48430 / 56078 ti = "17/48430/56078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48430/56078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48430 ÷ 217
    48430 ÷ 131072     		x = 0.369491577148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56078 ÷ 217
    56078 ÷ 131072     		y = 0.427841186523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369491577148438 × 2 - 1) × π
    -0.261016845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.82000860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427841186523438 × 2 - 1) × π
    0.144317626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.453387196606491
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82000860} λ = -0.82000860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.453387196606491))-π/2
    2×atan(1.57363337407119)-π/2
    2×1.004701977116-π/2
    2.00940395423201-1.57079632675     		φ = 0.43860763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82000860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.983032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43860763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.130366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48430 KachelY 56078 -0.82000860 0.43860763 -46.983032 25.130366
    Oben rechts KachelX + 1 48431 KachelY 56078 -0.81996067 0.43860763 -46.980286 25.130366
    Unten links KachelX 48430 KachelY + 1 56079 -0.82000860 0.43856423 -46.983032 25.127879
    Unten rechts KachelX + 1 48431 KachelY + 1 56079 -0.81996067 0.43856423 -46.980286 25.127879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43860763-0.43856423) × R
    4.34000000000268e-05 × 6371000     		dl = 276.50140000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43860763-0.43856423) × R
    4.34000000000268e-05 × 6371000     		dr = 276.50140000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82000860--0.81996067) × cos(0.43860763) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.905343851343042 × 6371000     		do = 276.457636294299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82000860--0.81996067) × cos(0.43856423) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.905362281572174 × 6371000     		du = 276.46326418648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43860763)-sin(0.43856423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905343851343042-0.905362281572174)×R²
    abs(-0.81996067--0.82000860)×1.84302291320604e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.84302291320604e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.84302291320604e-05×40589641000000     		ar = 76441.7015481738m²