Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48426 / 56082
↖ ↑ ↗
← N 25.120419°
W 46.994018°		 ← 276.48 m → N 25.120419°
W 46.991272°		 →
↑
276.50 m
↓
↑
276.50 m
↓
N 25.117932°
W 46.994018°		 ← 276.49 m →
76 448 m²		 N 25.117932°
W 46.991272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369464874267578 y=0.427875518798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369464874267578 × 217)
    floor (0.369464874267578 × 131072)
    floor (48426.5)     		tx = 48426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427875518798828 × 217)
    floor (0.427875518798828 × 131072)
    floor (56082.5)     		ty = 56082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48426 / 56082 ti = "17/48426/56082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48426/56082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48426 ÷ 217
    48426 ÷ 131072     		x = 0.369461059570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56082 ÷ 217
    56082 ÷ 131072     		y = 0.427871704101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369461059570312 × 2 - 1) × π
    -0.261077880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.82020035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427871704101562 × 2 - 1) × π
    0.144256591796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.453195449008011
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82020035} λ = -0.82020035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.453195449008011))-π/2
    2×atan(1.57333166257797)-π/2
    2×1.00461517482753-π/2
    2.00923034965505-1.57079632675     		φ = 0.43843402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82020035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.994018°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43843402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.120419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48426 KachelY 56082 -0.82020035 0.43843402 -46.994018 25.120419
    Oben rechts KachelX + 1 48427 KachelY 56082 -0.82015242 0.43843402 -46.991272 25.120419
    Unten links KachelX 48426 KachelY + 1 56083 -0.82020035 0.43839062 -46.994018 25.117932
    Unten rechts KachelX + 1 48427 KachelY + 1 56083 -0.82015242 0.43839062 -46.991272 25.117932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43843402-0.43839062) × R
    4.33999999999712e-05 × 6371000     		dl = 276.501399999817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43843402-0.43839062) × R
    4.33999999999712e-05 × 6371000     		dr = 276.501399999817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82020035--0.82015242) × cos(0.43843402) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.905417566272828 × 6371000     		do = 276.480146034899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82020035--0.82015242) × cos(0.43839062) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.905435989680142 × 6371000     		du = 276.485771843956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43843402)-sin(0.43839062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905417566272828-0.905435989680142)×R²
    abs(-0.82015242--0.82020035)×1.8423407314061e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.8423407314061e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.8423407314061e-05×40589641000000     		ar = 76447.925234913m²