Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 48420 / 56092
↖ ↑ ↗
← N 25.095549°
W 47.010498°		 ← 276.54 m → N 25.095549°
W 47.007752°		 →
↑
276.57 m
↓
↑
276.57 m
↓
N 25.093061°
W 47.010498°		 ← 276.54 m →
76 481 m²		 N 25.093061°
W 47.007752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369419097900391 y=0.427951812744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369419097900391 × 217)
    floor (0.369419097900391 × 131072)
    floor (48420.5)     		tx = 48420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427951812744141 × 217)
    floor (0.427951812744141 × 131072)
    floor (56092.5)     		ty = 56092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48420 / 56092 ti = "17/48420/56092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48420/56092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48420 ÷ 217
    48420 ÷ 131072     		x = 0.369415283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56092 ÷ 217
    56092 ÷ 131072     		y = 0.427947998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369415283203125 × 2 - 1) × π
    -0.26116943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.82048797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427947998046875 × 2 - 1) × π
    0.14410400390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.45271608001181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82048797} λ = -0.82048797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.45271608001181))-π/2
    2×atan(1.5725776369009)-π/2
    2×1.00439813819666-π/2
    2.00879627639333-1.57079632675     		φ = 0.43799995
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82048797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.010498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43799995 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.095549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48420 KachelY 56092 -0.82048797 0.43799995 -47.010498 25.095549
    Oben rechts KachelX + 1 48421 KachelY 56092 -0.82044004 0.43799995 -47.007752 25.095549
    Unten links KachelX 48420 KachelY + 1 56093 -0.82048797 0.43795654 -47.010498 25.093061
    Unten rechts KachelX + 1 48421 KachelY + 1 56093 -0.82044004 0.43795654 -47.007752 25.093061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43799995-0.43795654) × R
    4.34100000000215e-05 × 6371000     		dl = 276.565110000137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43799995-0.43795654) × R
    4.34100000000215e-05 × 6371000     		dr = 276.565110000137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82048797--0.82044004) × cos(0.43799995) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.905601753285907 × 6371000     		do = 276.536389754473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82048797--0.82044004) × cos(0.43795654) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.905620163875377 × 6371000     		du = 276.542011649446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43799995)-sin(0.43795654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905601753285907-0.905620163875377)×R²
    abs(-0.82044004--0.82048797)×1.84105894692754e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.84105894692754e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.84105894692754e-05×40589641000000     		ar = 76481.0944735127m²