Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48419 / 56075
↖ ↑ ↗
← N 25.137825°
W 47.013245°		 ← 276.50 m → N 25.137825°
W 47.010498°		 →
↑
276.50 m
↓
↑
276.50 m
↓
N 25.135339°
W 47.013245°		 ← 276.50 m →
76 453 m²		 N 25.135339°
W 47.010498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369411468505859 y=0.427822113037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369411468505859 × 217)
    floor (0.369411468505859 × 131072)
    floor (48419.5)     		tx = 48419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427822113037109 × 217)
    floor (0.427822113037109 × 131072)
    floor (56075.5)     		ty = 56075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48419 / 56075 ti = "17/48419/56075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48419/56075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48419 ÷ 217
    48419 ÷ 131072     		x = 0.369407653808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56075 ÷ 217
    56075 ÷ 131072     		y = 0.427818298339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369407653808594 × 2 - 1) × π
    -0.261184692382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.82053591
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427818298339844 × 2 - 1) × π
    0.144363403320312 × 3.1415926535     		Φ = 0.453531007305351
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82053591} λ = -0.82053591}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.453531007305351))-π/2
    2×atan(1.57385969565981)-π/2
    2×1.00476707419401-π/2
    2.00953414838802-1.57079632675     		φ = 0.43873782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82053591} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.013245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43873782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.137825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48419 KachelY 56075 -0.82053591 0.43873782 -47.013245 25.137825
    Oben rechts KachelX + 1 48420 KachelY 56075 -0.82048797 0.43873782 -47.010498 25.137825
    Unten links KachelX 48419 KachelY + 1 56076 -0.82053591 0.43869442 -47.013245 25.135339
    Unten rechts KachelX + 1 48420 KachelY + 1 56076 -0.82048797 0.43869442 -47.010498 25.135339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43873782-0.43869442) × R
    4.34000000000268e-05 × 6371000     		dl = 276.50140000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43873782-0.43869442) × R
    4.34000000000268e-05 × 6371000     		dr = 276.50140000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82053591--0.82048797) × cos(0.43873782) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.905288554672139 × 6371000     		do = 276.498426724728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82053591--0.82048797) × cos(0.43869442) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.905306990016583 × 6371000     		du = 276.504057353446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43873782)-sin(0.43869442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905288554672139-0.905306990016583)×R²
    abs(-0.82048797--0.82053591)×1.84353444434571e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.84353444434571e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.84353444434571e-05×40589641000000     		ar = 76452.9805375492m²