Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48418 / 56158
↖ ↑ ↗
← N 24.931276°
W 47.015991°		 ← 276.96 m → N 24.931276°
W 47.013245°		 →
↑
276.95 m
↓
↑
276.95 m
↓
N 24.928786°
W 47.015991°		 ← 276.97 m →
76 705 m²		 N 24.928786°
W 47.013245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369403839111328 y=0.428455352783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369403839111328 × 217)
    floor (0.369403839111328 × 131072)
    floor (48418.5)     		tx = 48418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428455352783203 × 217)
    floor (0.428455352783203 × 131072)
    floor (56158.5)     		ty = 56158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48418 / 56158 ti = "17/48418/56158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48418/56158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48418 ÷ 217
    48418 ÷ 131072     		x = 0.369400024414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56158 ÷ 217
    56158 ÷ 131072     		y = 0.428451538085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369400024414062 × 2 - 1) × π
    -0.261199951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.82058385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428451538085938 × 2 - 1) × π
    0.143096923828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.449552244636887
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82058385} λ = -0.82058385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.449552244636887))-π/2
    2×atan(1.56761012248605)-π/2
    2×1.00296459112206-π/2
    2.00592918224413-1.57079632675     		φ = 0.43513286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82058385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.015991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43513286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.931276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48418 KachelY 56158 -0.82058385 0.43513286 -47.015991 24.931276
    Oben rechts KachelX + 1 48419 KachelY 56158 -0.82053591 0.43513286 -47.013245 24.931276
    Unten links KachelX 48418 KachelY + 1 56159 -0.82058385 0.43508939 -47.015991 24.928786
    Unten rechts KachelX + 1 48419 KachelY + 1 56159 -0.82053591 0.43508939 -47.013245 24.928786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43513286-0.43508939) × R
    4.34699999999899e-05 × 6371000     		dl = 276.947369999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43513286-0.43508939) × R
    4.34699999999899e-05 × 6371000     		dr = 276.947369999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82058385--0.82053591) × cos(0.43513286) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.906814045709641 × 6371000     		do = 276.964350953079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82058385--0.82053591) × cos(0.43508939) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.906832368800403 × 6371000     		du = 276.969947296635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43513286)-sin(0.43508939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906814045709641-0.906832368800403)×R²
    abs(-0.82053591--0.82058385)×1.83230907626619e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83230907626619e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83230907626619e-05×40589641000000     		ar = 76705.3235385673m²