Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48417 / 50797
↖ ↑ ↗
← S 69.864220°
E 85.962524°		 ← 210.28 m → S 69.864220°
E 85.968018°		 →
↑
210.24 m
↓
↑
210.24 m
↓
S 69.866110°
E 85.962524°		 ← 210.26 m →
44 209 m²		 S 69.866110°
E 85.968018°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.738792419433594 y=0.775108337402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.738792419433594 × 216)
    floor (0.738792419433594 × 65536)
    floor (48417.5)     		tx = 48417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775108337402344 × 216)
    floor (0.775108337402344 × 65536)
    floor (50797.5)     		ty = 50797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48417 / 50797 ti = "16/48417/50797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48417/50797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48417 ÷ 216
    48417 ÷ 65536     		x = 0.738784790039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50797 ÷ 216
    50797 ÷ 65536     		y = 0.775100708007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.738784790039062 × 2 - 1) × π
    0.477569580078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.50032908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775100708007812 × 2 - 1) × π
    -0.550201416015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.72850872649998
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.50032908} λ = 1.50032908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72850872649998))-π/2
    2×atan(0.177548986741563)-π/2
    2×0.17571783507031-π/2
    0.351435670140621-1.57079632675     		φ = -1.21936066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.50032908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.962524°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21936066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.864220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48417 KachelY 50797 1.50032908 -1.21936066 85.962524 -69.864220
    Oben rechts KachelX + 1 48418 KachelY 50797 1.50042496 -1.21936066 85.968018 -69.864220
    Unten links KachelX 48417 KachelY + 1 50798 1.50032908 -1.21939366 85.962524 -69.866110
    Unten rechts KachelX + 1 48418 KachelY + 1 50798 1.50042496 -1.21939366 85.968018 -69.866110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21936066--1.21939366) × R
    3.29999999999497e-05 × 6371000     		dl = 210.24299999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21936066--1.21939366) × R
    3.29999999999497e-05 × 6371000     		dr = 210.24299999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.50032908-1.50042496) × cos(-1.21936066) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.344246079824048 × 6371000     		do = 210.28322734458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.50032908-1.50042496) × cos(-1.21939366) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.3442150966145 × 6371000     		du = 210.264301205172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21936066)-sin(-1.21939366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344246079824048-0.3442150966145)×R²
    abs(1.50042496-1.50032908)×3.098320954803e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.098320954803e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.098320954803e-05×40589641000000     		ar = 44208.5870263167m²