Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48415 / 56106
↖ ↑ ↗
← N 25.060721°
W 47.024231°		 ← 276.67 m → N 25.060721°
W 47.021484°		 →
↑
276.69 m
↓
↑
276.69 m
↓
N 25.058233°
W 47.024231°		 ← 276.68 m →
76 554 m²		 N 25.058233°
W 47.021484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369380950927734 y=0.428058624267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369380950927734 × 217)
    floor (0.369380950927734 × 131072)
    floor (48415.5)     		tx = 48415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428058624267578 × 217)
    floor (0.428058624267578 × 131072)
    floor (56106.5)     		ty = 56106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48415 / 56106 ti = "17/48415/56106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48415/56106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48415 ÷ 217
    48415 ÷ 131072     		x = 0.369377136230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56106 ÷ 217
    56106 ÷ 131072     		y = 0.428054809570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369377136230469 × 2 - 1) × π
    -0.261245727539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.82072766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428054809570312 × 2 - 1) × π
    0.143890380859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.45204496341713
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82072766} λ = -0.82072766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.45204496341713))-π/2
    2×atan(1.57152260801564)-π/2
    2×1.0040942127803-π/2
    2.00818842556059-1.57079632675     		φ = 0.43739210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82072766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.024231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43739210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.060721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48415 KachelY 56106 -0.82072766 0.43739210 -47.024231 25.060721
    Oben rechts KachelX + 1 48416 KachelY 56106 -0.82067972 0.43739210 -47.021484 25.060721
    Unten links KachelX 48415 KachelY + 1 56107 -0.82072766 0.43734867 -47.024231 25.058233
    Unten rechts KachelX + 1 48416 KachelY + 1 56107 -0.82067972 0.43734867 -47.021484 25.058233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43739210-0.43734867) × R
    4.3430000000011e-05 × 6371000     		dl = 276.69253000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43739210-0.43734867) × R
    4.3430000000011e-05 × 6371000     		dr = 276.69253000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82072766--0.82067972) × cos(0.43739210) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.905859392821073 × 6371000     		do = 276.672775388145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82072766--0.82067972) × cos(0.43734867) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.90587778798178 × 6371000     		du = 276.678393743717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43739210)-sin(0.43734867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905859392821073-0.90587778798178)×R²
    abs(-0.82067972--0.82072766)×1.83951607066746e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83951607066746e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83951607066746e-05×40589641000000     		ar = 76554.0674947524m²