Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48415 / 50729
↖ ↑ ↗
← S 69.735237°
E 85.951538°		 ← 211.55 m → S 69.735237°
E 85.957031°		 →
↑
211.58 m
↓
↑
211.58 m
↓
S 69.737140°
E 85.951538°		 ← 211.53 m →
44 758 m²		 S 69.737140°
E 85.957031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.738761901855469 y=0.774070739746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.738761901855469 × 216)
    floor (0.738761901855469 × 65536)
    floor (48415.5)     		tx = 48415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774070739746094 × 216)
    floor (0.774070739746094 × 65536)
    floor (50729.5)     		ty = 50729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48415 / 50729 ti = "16/48415/50729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48415/50729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48415 ÷ 216
    48415 ÷ 65536     		x = 0.738754272460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50729 ÷ 216
    50729 ÷ 65536     		y = 0.774063110351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.738754272460938 × 2 - 1) × π
    0.477508544921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.50013734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774063110351562 × 2 - 1) × π
    -0.548126220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.72198930815166
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.50013734} λ = 1.50013734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72198930815166))-π/2
    2×atan(0.178710284242372)-π/2
    2×0.17684341754039-π/2
    0.353686835080779-1.57079632675     		φ = -1.21710949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.50013734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.951538°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21710949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.735237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48415 KachelY 50729 1.50013734 -1.21710949 85.951538 -69.735237
    Oben rechts KachelX + 1 48416 KachelY 50729 1.50023321 -1.21710949 85.957031 -69.735237
    Unten links KachelX 48415 KachelY + 1 50730 1.50013734 -1.21714270 85.951538 -69.737140
    Unten rechts KachelX + 1 48416 KachelY + 1 50730 1.50023321 -1.21714270 85.957031 -69.737140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21710949--1.21714270) × R
    3.32100000000057e-05 × 6371000     		dl = 211.580910000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21710949--1.21714270) × R
    3.32100000000057e-05 × 6371000     		dr = 211.580910000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.50013734-1.50023321) × cos(-1.21710949) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.346358783029189 × 6371000     		do = 211.551708706308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.50013734-1.50023321) × cos(-1.21714270) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.346327628466686 × 6371000     		du = 211.532679880551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21710949)-sin(-1.21714270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346358783029189-0.346327628466686)×R²
    abs(1.50023321-1.50013734)×3.11545625036325e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.11545625036325e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.11545625036325e-05×40589641000000     		ar = 44758.2899760609m²