Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48413 / 56087
↖ ↑ ↗
← N 25.107985°
W 47.029724°		 ← 276.51 m → N 25.107985°
W 47.026978°		 →
↑
276.57 m
↓
↑
276.57 m
↓
N 25.105497°
W 47.029724°		 ← 276.51 m →
76 473 m²		 N 25.105497°
W 47.026978°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369365692138672 y=0.427913665771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369365692138672 × 217)
    floor (0.369365692138672 × 131072)
    floor (48413.5)     		tx = 48413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427913665771484 × 217)
    floor (0.427913665771484 × 131072)
    floor (56087.5)     		ty = 56087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48413 / 56087 ti = "17/48413/56087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48413/56087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48413 ÷ 217
    48413 ÷ 131072     		x = 0.369361877441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56087 ÷ 217
    56087 ÷ 131072     		y = 0.427909851074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369361877441406 × 2 - 1) × π
    -0.261276245117188 × 3.1415926535     		Λ = -0.82082353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427909851074219 × 2 - 1) × π
    0.144180297851562 × 3.1415926535     		Φ = 0.452955764509911
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82082353} λ = -0.82082353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.452955764509911))-π/2
    2×atan(1.57295460455737)-π/2
    2×1.00450666203048-π/2
    2.00901332406097-1.57079632675     		φ = 0.43821700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82082353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.029724°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43821700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.107985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48413 KachelY 56087 -0.82082353 0.43821700 -47.029724 25.107985
    Oben rechts KachelX + 1 48414 KachelY 56087 -0.82077560 0.43821700 -47.026978 25.107985
    Unten links KachelX 48413 KachelY + 1 56088 -0.82082353 0.43817359 -47.029724 25.105497
    Unten rechts KachelX + 1 48414 KachelY + 1 56088 -0.82077560 0.43817359 -47.026978 25.105497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43821700-0.43817359) × R
    4.34100000000215e-05 × 6371000     		dl = 276.565110000137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43821700-0.43817359) × R
    4.34100000000215e-05 × 6371000     		dr = 276.565110000137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82082353--0.82077560) × cos(0.43821700) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.905509674741134 × 6371000     		do = 276.508272463121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82082353--0.82077560) × cos(0.43817359) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.905528093862963 × 6371000     		du = 276.513896963554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43821700)-sin(0.43817359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905509674741134-0.905528093862963)×R²
    abs(-0.82077560--0.82082353)×1.84191218293162e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.84191218293162e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.84191218293162e-05×40589641000000     		ar = 76473.3185720105m²