Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48413 / 50726
↖ ↑ ↗
← S 69.729529°
E 85.940552°		 ← 211.61 m → S 69.729529°
E 85.946045°		 →
↑
211.58 m
↓
↑
211.58 m
↓
S 69.731431°
E 85.940552°		 ← 211.59 m →
44 770 m²		 S 69.731431°
E 85.946045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.738731384277344 y=0.774024963378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.738731384277344 × 216)
    floor (0.738731384277344 × 65536)
    floor (48413.5)     		tx = 48413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774024963378906 × 216)
    floor (0.774024963378906 × 65536)
    floor (50726.5)     		ty = 50726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48413 / 50726 ti = "16/48413/50726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48413/50726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48413 ÷ 216
    48413 ÷ 65536     		x = 0.738723754882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50726 ÷ 216
    50726 ÷ 65536     		y = 0.774017333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.738723754882812 × 2 - 1) × π
    0.477447509765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.49994559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774017333984375 × 2 - 1) × π
    -0.54803466796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72170168675394
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.49994559} λ = 1.49994559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72170168675394))-π/2
    2×atan(0.178761692536821)-π/2
    2×0.176893234359161-π/2
    0.353786468718322-1.57079632675     		φ = -1.21700986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.49994559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.940552°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21700986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.729529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48413 KachelY 50726 1.49994559 -1.21700986 85.940552 -69.729529
    Oben rechts KachelX + 1 48414 KachelY 50726 1.50004146 -1.21700986 85.946045 -69.729529
    Unten links KachelX 48413 KachelY + 1 50727 1.49994559 -1.21704307 85.940552 -69.731431
    Unten rechts KachelX + 1 48414 KachelY + 1 50727 1.50004146 -1.21704307 85.946045 -69.731431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21700986--1.21704307) × R
    3.32099999997837e-05 × 6371000     		dl = 211.580909998622m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21700986--1.21704307) × R
    3.32099999997837e-05 × 6371000     		dr = 211.580909998622m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.49994559-1.50004146) × cos(-1.21700986) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.346452244424559 × 6371000     		do = 211.608793783567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.49994559-1.50004146) × cos(-1.21704307) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.346421091008161 × 6371000     		du = 211.589765657837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21700986)-sin(-1.21704307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346452244424559-0.346421091008161)×R²
    abs(1.50004146-1.49994559)×3.11534163988103e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.11534163988103e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.11534163988103e-05×40589641000000     		ar = 44770.3681625784m²