Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48412 / 56108
↖ ↑ ↗
← N 25.055745°
W 47.032471°		 ← 276.68 m → N 25.055745°
W 47.029724°		 →
↑
276.69 m
↓
↑
276.69 m
↓
N 25.053257°
W 47.032471°		 ← 276.69 m →
76 557 m²		 N 25.053257°
W 47.029724°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369358062744141 y=0.428073883056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369358062744141 × 217)
    floor (0.369358062744141 × 131072)
    floor (48412.5)     		tx = 48412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428073883056641 × 217)
    floor (0.428073883056641 × 131072)
    floor (56108.5)     		ty = 56108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48412 / 56108 ti = "17/48412/56108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48412/56108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48412 ÷ 217
    48412 ÷ 131072     		x = 0.369354248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56108 ÷ 217
    56108 ÷ 131072     		y = 0.428070068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369354248046875 × 2 - 1) × π
    -0.26129150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.82087147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428070068359375 × 2 - 1) × π
    0.14385986328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.451949089617889
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82087147} λ = -0.82087147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.451949089617889))-π/2
    2×atan(1.57137194739494)-π/2
    2×1.0040507878078-π/2
    2.0081015756156-1.57079632675     		φ = 0.43730525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82087147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.032471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43730525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.055745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48412 KachelY 56108 -0.82087147 0.43730525 -47.032471 25.055745
    Oben rechts KachelX + 1 48413 KachelY 56108 -0.82082353 0.43730525 -47.029724 25.055745
    Unten links KachelX 48412 KachelY + 1 56109 -0.82087147 0.43726182 -47.032471 25.053257
    Unten rechts KachelX + 1 48413 KachelY + 1 56109 -0.82082353 0.43726182 -47.029724 25.053257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43730525-0.43726182) × R
    4.34299999999554e-05 × 6371000     		dl = 276.692529999716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43730525-0.43726182) × R
    4.34299999999554e-05 × 6371000     		dr = 276.692529999716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82087147--0.82082353) × cos(0.43730525) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.905896177198853 × 6371000     		do = 276.68401028459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82087147--0.82082353) × cos(0.43726182) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.905914568942648 × 6371000     		du = 276.689627596549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43730525)-sin(0.43726182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905896177198853-0.905914568942648)×R²
    abs(-0.82082353--0.82087147)×1.83917437955872e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.83917437955872e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.83917437955872e-05×40589641000000     		ar = 76557.1759622807m²