Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48412 / 50725
↖ ↑ ↗
← S 69.727625°
E 85.935059°		 ← 211.63 m → S 69.727625°
E 85.940552°		 →
↑
211.64 m
↓
↑
211.64 m
↓
S 69.729529°
E 85.935059°		 ← 211.61 m →
44 788 m²		 S 69.729529°
E 85.940552°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.738716125488281 y=0.774009704589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.738716125488281 × 216)
    floor (0.738716125488281 × 65536)
    floor (48412.5)     		tx = 48412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774009704589844 × 216)
    floor (0.774009704589844 × 65536)
    floor (50725.5)     		ty = 50725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48412 / 50725 ti = "16/48412/50725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48412/50725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48412 ÷ 216
    48412 ÷ 65536     		x = 0.73870849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50725 ÷ 216
    50725 ÷ 65536     		y = 0.774002075195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.73870849609375 × 2 - 1) × π
    0.4774169921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.49984972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774002075195312 × 2 - 1) × π
    -0.548004150390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7216058129547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.49984972} λ = 1.49984972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7216058129547))-π/2
    2×atan(0.178778831921039)-π/2
    2×0.176909842952553-π/2
    0.353819685905107-1.57079632675     		φ = -1.21697664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.49984972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.935059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21697664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.727625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48412 KachelY 50725 1.49984972 -1.21697664 85.935059 -69.727625
    Oben rechts KachelX + 1 48413 KachelY 50725 1.49994559 -1.21697664 85.940552 -69.727625
    Unten links KachelX 48412 KachelY + 1 50726 1.49984972 -1.21700986 85.935059 -69.729529
    Unten rechts KachelX + 1 48413 KachelY + 1 50726 1.49994559 -1.21700986 85.940552 -69.729529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21697664--1.21700986) × R
    3.3220000000167e-05 × 6371000     		dl = 211.644620001064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21697664--1.21700986) × R
    3.3220000000167e-05 × 6371000     		dr = 211.644620001064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.49984972-1.49994559) × cos(-1.21697664) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.346483406839416 × 6371000     		do = 211.627827405445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.49984972-1.49994559) × cos(-1.21700986) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.346452244424559 × 6371000     		du = 211.608793783567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21697664)-sin(-1.21700986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346483406839416-0.346452244424559)×R²
    abs(1.49994559-1.49984972)×3.1162414856567e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.1162414856567e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.1162414856567e-05×40589641000000     		ar = 44787.8769350591m²