Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 48410 / 56073
↖ ↑ ↗
← N 25.142798°
W 47.037964°		 ← 276.43 m → N 25.142798°
W 47.035218°		 →
↑
276.44 m
↓
↑
276.44 m
↓
N 25.140312°
W 47.037964°		 ← 276.44 m →
76 416 m²		 N 25.140312°
W 47.035218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48410 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369342803955078 y=0.427806854248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369342803955078 × 217)
    floor (0.369342803955078 × 131072)
    floor (48410.5)     		tx = 48410
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427806854248047 × 217)
    floor (0.427806854248047 × 131072)
    floor (56073.5)     		ty = 56073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48410 / 56073 ti = "17/48410/56073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48410/56073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48410 ÷ 217
    48410 ÷ 131072     		x = 0.369338989257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56073 ÷ 217
    56073 ÷ 131072     		y = 0.427803039550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369338989257812 × 2 - 1) × π
    -0.261322021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.82096734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427803039550781 × 2 - 1) × π
    0.144393920898438 × 3.1415926535     		Φ = 0.453626881104591
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82096734} λ = -0.82096734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.453626881104591))-π/2
    2×atan(1.57401059480182)-π/2
    2×1.0048104700368-π/2
    2.0096209400736-1.57079632675     		φ = 0.43882461
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82096734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.037964°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43882461 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.142798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48410 KachelY 56073 -0.82096734 0.43882461 -47.037964 25.142798
    Oben rechts KachelX + 1 48411 KachelY 56073 -0.82091941 0.43882461 -47.035218 25.142798
    Unten links KachelX 48410 KachelY + 1 56074 -0.82096734 0.43878122 -47.037964 25.140312
    Unten rechts KachelX + 1 48411 KachelY + 1 56074 -0.82091941 0.43878122 -47.035218 25.140312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43882461-0.43878122) × R
    4.33899999999765e-05 × 6371000     		dl = 276.43768999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43882461-0.43878122) × R
    4.33899999999765e-05 × 6371000     		dr = 276.43768999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82096734--0.82091941) × cos(0.43882461) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.905251683116549 × 6371000     		do = 276.429491617555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82096734--0.82091941) × cos(0.43878122) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.905270117622531 × 6371000     		du = 276.435120815724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43882461)-sin(0.43878122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905251683116549-0.905270117622531)×R²
    abs(-0.82091941--0.82096734)×1.84345059819346e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.84345059819346e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.84345059819346e-05×40589641000000     		ar = 76416.3081837926m²