Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48406 / 56102
↖ ↑ ↗
← N 25.070673°
W 47.048950°		 ← 276.65 m → N 25.070673°
W 47.046203°		 →
↑
276.63 m
↓
↑
276.63 m
↓
N 25.068185°
W 47.048950°		 ← 276.66 m →
76 530 m²		 N 25.068185°
W 47.046203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48406 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369312286376953 y=0.428028106689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369312286376953 × 217)
    floor (0.369312286376953 × 131072)
    floor (48406.5)     		tx = 48406
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428028106689453 × 217)
    floor (0.428028106689453 × 131072)
    floor (56102.5)     		ty = 56102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48406 / 56102 ti = "17/48406/56102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48406/56102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48406 ÷ 217
    48406 ÷ 131072     		x = 0.369308471679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56102 ÷ 217
    56102 ÷ 131072     		y = 0.428024291992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369308471679688 × 2 - 1) × π
    -0.261383056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.82115909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428024291992188 × 2 - 1) × π
    0.143951416015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.45223671101561
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82115909} λ = -0.82115909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.45223671101561))-π/2
    2×atan(1.57182397259373)-π/2
    2×1.00418105743466-π/2
    2.00836211486932-1.57079632675     		φ = 0.43756579
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82115909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.048950°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43756579 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.070673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48406 KachelY 56102 -0.82115909 0.43756579 -47.048950 25.070673
    Oben rechts KachelX + 1 48407 KachelY 56102 -0.82111115 0.43756579 -47.046203 25.070673
    Unten links KachelX 48406 KachelY + 1 56103 -0.82115909 0.43752237 -47.048950 25.068185
    Unten rechts KachelX + 1 48407 KachelY + 1 56103 -0.82111115 0.43752237 -47.046203 25.068185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43756579-0.43752237) × R
    4.34200000000162e-05 × 6371000     		dl = 276.628820000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43756579-0.43752237) × R
    4.34200000000162e-05 × 6371000     		dr = 276.628820000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82115909--0.82111115) × cos(0.43756579) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.905785807804667 × 6371000     		do = 276.650300630057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82115909--0.82111115) × cos(0.43752237) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.905804205561421 × 6371000     		du = 276.655919778528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43756579)-sin(0.43752237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905785807804667-0.905804205561421)×R²
    abs(-0.82111115--0.82115909)×1.83977567538296e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83977567538296e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83977567538296e-05×40589641000000     		ar = 76530.2234372378m²