Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48405 / 56101
↖ ↑ ↗
← N 25.073161°
W 47.051697°		 ← 276.64 m → N 25.073161°
W 47.048950°		 →
↑
276.63 m
↓
↑
276.63 m
↓
N 25.070673°
W 47.051697°		 ← 276.65 m →
76 529 m²		 N 25.070673°
W 47.048950°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369304656982422 y=0.428020477294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369304656982422 × 217)
    floor (0.369304656982422 × 131072)
    floor (48405.5)     		tx = 48405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428020477294922 × 217)
    floor (0.428020477294922 × 131072)
    floor (56101.5)     		ty = 56101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48405 / 56101 ti = "17/48405/56101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48405/56101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48405 ÷ 217
    48405 ÷ 131072     		x = 0.369300842285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56101 ÷ 217
    56101 ÷ 131072     		y = 0.428016662597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369300842285156 × 2 - 1) × π
    -0.261398315429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.82120703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428016662597656 × 2 - 1) × π
    0.143966674804688 × 3.1415926535     		Φ = 0.45228464791523
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82120703} λ = -0.82120703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.45228464791523))-π/2
    2×atan(1.57189932276774)-π/2
    2×1.00420276749585-π/2
    2.0084055349917-1.57079632675     		φ = 0.43760921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82120703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.051697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43760921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.073161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48405 KachelY 56101 -0.82120703 0.43760921 -47.051697 25.073161
    Oben rechts KachelX + 1 48406 KachelY 56101 -0.82115909 0.43760921 -47.048950 25.073161
    Unten links KachelX 48405 KachelY + 1 56102 -0.82120703 0.43756579 -47.051697 25.070673
    Unten rechts KachelX + 1 48406 KachelY + 1 56102 -0.82115909 0.43756579 -47.048950 25.070673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43760921-0.43756579) × R
    4.34200000000162e-05 × 6371000     		dl = 276.628820000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43760921-0.43756579) × R
    4.34200000000162e-05 × 6371000     		dr = 276.628820000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82120703--0.82115909) × cos(0.43760921) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.905767408340239 × 6371000     		do = 276.644680960018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82120703--0.82115909) × cos(0.43756579) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.905785807804667 × 6371000     		du = 276.650300630057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43760921)-sin(0.43756579))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905767408340239-0.905785807804667)×R²
    abs(-0.82115909--0.82120703)×1.83994644284979e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83994644284979e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83994644284979e-05×40589641000000     		ar = 76528.668946643m²