Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48405 / 54357
↖ ↑ ↗
← N 29.331904°
W 47.051697°		 ← 266.27 m → N 29.331904°
W 47.048950°		 →
↑
266.24 m
↓
↑
266.24 m
↓
N 29.329510°
W 47.051697°		 ← 266.28 m →
70 893 m²		 N 29.329510°
W 47.048950°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48405 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369304656982422 y=0.414714813232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369304656982422 × 217)
    floor (0.369304656982422 × 131072)
    floor (48405.5)     		tx = 48405
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414714813232422 × 217)
    floor (0.414714813232422 × 131072)
    floor (54357.5)     		ty = 54357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48405 / 54357 ti = "17/48405/54357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48405/54357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48405 ÷ 217
    48405 ÷ 131072     		x = 0.369300842285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54357 ÷ 217
    54357 ÷ 131072     		y = 0.414710998535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369300842285156 × 2 - 1) × π
    -0.261398315429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.82120703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414710998535156 × 2 - 1) × π
    0.170578002929688 × 3.1415926535     		Φ = 0.535886600852608
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82120703} λ = -0.82120703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.535886600852608))-π/2
    2×atan(1.70896273859925)-π/2
    2×1.04136731196268-π/2
    2.08273462392535-1.57079632675     		φ = 0.51193830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82120703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.051697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51193830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.331904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48405 KachelY 54357 -0.82120703 0.51193830 -47.051697 29.331904
    Oben rechts KachelX + 1 48406 KachelY 54357 -0.82115909 0.51193830 -47.048950 29.331904
    Unten links KachelX 48405 KachelY + 1 54358 -0.82120703 0.51189651 -47.051697 29.329510
    Unten rechts KachelX + 1 48406 KachelY + 1 54358 -0.82115909 0.51189651 -47.048950 29.329510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51193830-0.51189651) × R
    4.17899999999305e-05 × 6371000     		dl = 266.244089999557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51193830-0.51189651) × R
    4.17899999999305e-05 × 6371000     		dr = 266.244089999557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82120703--0.82115909) × cos(0.51193830) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.871796634827568 × 6371000     		do = 266.269132321545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82120703--0.82115909) × cos(0.51189651) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.871817105648751 × 6371000     		du = 266.275384637253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51193830)-sin(0.51189651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871796634827568-0.871817105648751)×R²
    abs(-0.82115909--0.82120703)×2.04708211831717e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.04708211831717e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.04708211831717e-05×40589641000000     		ar = 70893.4151613612m²