Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48404 / 56100
↖ ↑ ↗
← N 25.075649°
W 47.054443°		 ← 276.58 m → N 25.075649°
W 47.051697°		 →
↑
276.63 m
↓
↑
276.63 m
↓
N 25.073161°
W 47.054443°		 ← 276.59 m →
76 511 m²		 N 25.073161°
W 47.051697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369297027587891 y=0.428012847900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369297027587891 × 217)
    floor (0.369297027587891 × 131072)
    floor (48404.5)     		tx = 48404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428012847900391 × 217)
    floor (0.428012847900391 × 131072)
    floor (56100.5)     		ty = 56100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48404 / 56100 ti = "17/48404/56100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48404/56100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48404 ÷ 217
    48404 ÷ 131072     		x = 0.369293212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56100 ÷ 217
    56100 ÷ 131072     		y = 0.428009033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369293212890625 × 2 - 1) × π
    -0.26141357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.82125496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428009033203125 × 2 - 1) × π
    0.14398193359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.45233258481485
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82125496} λ = -0.82125496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.45233258481485))-π/2
    2×atan(1.57197467655389)-π/2
    2×1.00422447711602-π/2
    2.00844895423204-1.57079632675     		φ = 0.43765263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82125496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.054443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43765263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.075649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48404 KachelY 56100 -0.82125496 0.43765263 -47.054443 25.075649
    Oben rechts KachelX + 1 48405 KachelY 56100 -0.82120703 0.43765263 -47.051697 25.075649
    Unten links KachelX 48404 KachelY + 1 56101 -0.82125496 0.43760921 -47.054443 25.073161
    Unten rechts KachelX + 1 48405 KachelY + 1 56101 -0.82120703 0.43760921 -47.051697 25.073161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43765263-0.43760921) × R
    4.34199999999607e-05 × 6371000     		dl = 276.62881999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43765263-0.43760921) × R
    4.34199999999607e-05 × 6371000     		dr = 276.62881999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82125496--0.82120703) × cos(0.43765263) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.90574900716817 × 6371000     		do = 276.581355499526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82125496--0.82120703) × cos(0.43760921) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.905767408340239 × 6371000     		du = 276.586974518784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43765263)-sin(0.43760921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90574900716817-0.905767408340239)×R²
    abs(-0.82120703--0.82125496)×1.84011720686383e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.84011720686383e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.84011720686383e-05×40589641000000     		ar = 76511.1512090328m²