Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48403 / 56099
↖ ↑ ↗
← N 25.078136°
W 47.057190°		 ← 276.63 m → N 25.078136°
W 47.054443°		 →
↑
276.63 m
↓
↑
276.63 m
↓
N 25.075649°
W 47.057190°		 ← 276.64 m →
76 526 m²		 N 25.075649°
W 47.054443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369289398193359 y=0.428005218505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369289398193359 × 217)
    floor (0.369289398193359 × 131072)
    floor (48403.5)     		tx = 48403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428005218505859 × 217)
    floor (0.428005218505859 × 131072)
    floor (56099.5)     		ty = 56099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48403 / 56099 ti = "17/48403/56099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48403/56099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48403 ÷ 217
    48403 ÷ 131072     		x = 0.369285583496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56099 ÷ 217
    56099 ÷ 131072     		y = 0.428001403808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369285583496094 × 2 - 1) × π
    -0.261428833007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.82130290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428001403808594 × 2 - 1) × π
    0.143997192382812 × 3.1415926535     		Φ = 0.45238052171447
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82130290} λ = -0.82130290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.45238052171447))-π/2
    2×atan(1.57205003395235)-π/2
    2×1.00424618629513-π/2
    2.00849237259026-1.57079632675     		φ = 0.43769605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82130290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.057190°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43769605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.078136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48403 KachelY 56099 -0.82130290 0.43769605 -47.057190 25.078136
    Oben rechts KachelX + 1 48404 KachelY 56099 -0.82125496 0.43769605 -47.054443 25.078136
    Unten links KachelX 48403 KachelY + 1 56100 -0.82130290 0.43765263 -47.057190 25.075649
    Unten rechts KachelX + 1 48404 KachelY + 1 56100 -0.82125496 0.43765263 -47.054443 25.075649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43769605-0.43765263) × R
    4.34200000000162e-05 × 6371000     		dl = 276.628820000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43769605-0.43765263) × R
    4.34200000000162e-05 × 6371000     		dr = 276.628820000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82130290--0.82125496) × cos(0.43769605) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.905730604288496 × 6371000     		do = 276.63344005528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82130290--0.82125496) × cos(0.43765263) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.90574900716817 × 6371000     		du = 276.639060768422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43769605)-sin(0.43765263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905730604288496-0.90574900716817)×R²
    abs(-0.82125496--0.82130290)×1.84028796739177e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.84028796739177e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.84028796739177e-05×40589641000000     		ar = 76525.5595327361m²