Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48402 / 56110
↖ ↑ ↗
← N 25.050769°
W 47.059937°		 ← 276.70 m → N 25.050769°
W 47.057190°		 →
↑
276.69 m
↓
↑
276.69 m
↓
N 25.048281°
W 47.059937°		 ← 276.70 m →
76 560 m²		 N 25.048281°
W 47.057190°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369281768798828 y=0.428089141845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369281768798828 × 217)
    floor (0.369281768798828 × 131072)
    floor (48402.5)     		tx = 48402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428089141845703 × 217)
    floor (0.428089141845703 × 131072)
    floor (56110.5)     		ty = 56110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48402 / 56110 ti = "17/48402/56110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48402/56110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48402 ÷ 217
    48402 ÷ 131072     		x = 0.369277954101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56110 ÷ 217
    56110 ÷ 131072     		y = 0.428085327148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369277954101562 × 2 - 1) × π
    -0.261444091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.82135084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428085327148438 × 2 - 1) × π
    0.143829345703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.451853215818649
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82135084} λ = -0.82135084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.451853215818649))-π/2
    2×atan(1.57122130121795)-π/2
    2×1.00400736107211-π/2
    2.00801472214422-1.57079632675     		φ = 0.43721840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82135084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.059937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43721840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.050769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48402 KachelY 56110 -0.82135084 0.43721840 -47.059937 25.050769
    Oben rechts KachelX + 1 48403 KachelY 56110 -0.82130290 0.43721840 -47.057190 25.050769
    Unten links KachelX 48402 KachelY + 1 56111 -0.82135084 0.43717497 -47.059937 25.048281
    Unten rechts KachelX + 1 48403 KachelY + 1 56111 -0.82130290 0.43717497 -47.057190 25.048281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43721840-0.43717497) × R
    4.3430000000011e-05 × 6371000     		dl = 276.69253000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43721840-0.43717497) × R
    4.3430000000011e-05 × 6371000     		dr = 276.69253000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82135084--0.82130290) × cos(0.43721840) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.905932954743528 × 6371000     		do = 276.695243093388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82135084--0.82130290) × cos(0.43717497) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.905951343070274 × 6371000     		du = 276.700859361692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43721840)-sin(0.43717497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905932954743528-0.905951343070274)×R²
    abs(-0.82130290--0.82135084)×1.83883267458329e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.83883267458329e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.83883267458329e-05×40589641000000     		ar = 76560.283852279m²