Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4840 / 3766
↖ ↑ ↗
← N 14.349548°
E 32.695312°		 ← 4 734.04 m → N 14.349548°
E 32.739258°		 →
↑
4 734.54 m
↓
↑
4 734.54 m
↓
N 14.306969°
E 32.695312°		 ← 4 734.94 m →
22 415 669 m²		 N 14.306969°
E 32.739258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59088134765625 y=0.45977783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59088134765625 × 213)
    floor (0.59088134765625 × 8192)
    floor (4840.5)     		tx = 4840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.45977783203125 × 213)
    floor (0.45977783203125 × 8192)
    floor (3766.5)     		ty = 3766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4840 / 3766 ti = "13/4840/3766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4840/3766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4840 ÷ 213
    4840 ÷ 8192     		x = 0.5908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3766 ÷ 213
    3766 ÷ 8192     		y = 0.459716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5908203125 × 2 - 1) × π
    0.181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57064085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459716796875 × 2 - 1) × π
    0.08056640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.253106829993896
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57064085} λ = 0.57064085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.253106829993896))-π/2
    2×atan(1.28802086874657)-π/2
    2×0.910621591359602-π/2
    1.8212431827192-1.57079632675     		φ = 0.25044686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57064085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.695312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25044686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.349548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4840 KachelY 3766 0.57064085 0.25044686 32.695312 14.349548
    Oben rechts KachelX + 1 4841 KachelY 3766 0.57140784 0.25044686 32.739258 14.349548
    Unten links KachelX 4840 KachelY + 1 3767 0.57064085 0.24970372 32.695312 14.306969
    Unten rechts KachelX + 1 4841 KachelY + 1 3767 0.57140784 0.24970372 32.739258 14.306969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25044686-0.24970372) × R
    0.000743140000000003 × 6371000     		dl = 4734.54494000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25044686-0.24970372) × R
    0.000743140000000003 × 6371000     		dr = 4734.54494000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57064085-0.57140784) × cos(0.25044686) × R
    0.000766990000000023 × 0.968801770043007 × 6371000     		do = 4734.04334865542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57064085-0.57140784) × cos(0.24970372) × R
    0.000766990000000023 × 0.968985680028164 × 6371000     		du = 4734.94202356385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25044686)-sin(0.24970372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.968801770043007-0.968985680028164)×R²
    abs(0.57140784-0.57064085)×0.000183909985156494×R²
    0.000766990000000023×0.000183909985156494×6371000²
    0.000766990000000023×0.000183909985156494×40589641000000     		ar = 22415669.4220887m²