Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4840 / 3752
↖ ↑ ↗
← N 14.944785°
E 32.695312°		 ← 4 721.21 m → N 14.944785°
E 32.739258°		 →
↑
4 721.68 m
↓
↑
4 721.68 m
↓
N 14.902322°
E 32.695312°		 ← 4 722.14 m →
22 294 209 m²		 N 14.902322°
E 32.739258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59088134765625 y=0.45806884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59088134765625 × 213)
    floor (0.59088134765625 × 8192)
    floor (4840.5)     		tx = 4840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.45806884765625 × 213)
    floor (0.45806884765625 × 8192)
    floor (3752.5)     		ty = 3752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4840 / 3752 ti = "13/4840/3752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4840/3752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4840 ÷ 213
    4840 ÷ 8192     		x = 0.5908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3752 ÷ 213
    3752 ÷ 8192     		y = 0.4580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5908203125 × 2 - 1) × π
    0.181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57064085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4580078125 × 2 - 1) × π
    0.083984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.263844695508789
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57064085} λ = 0.57064085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.263844695508789))-π/2
    2×atan(1.30192598564639)-π/2
    2×0.915816014430076-π/2
    1.83163202886015-1.57079632675     		φ = 0.26083570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57064085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.695312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26083570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.944785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4840 KachelY 3752 0.57064085 0.26083570 32.695312 14.944785
    Oben rechts KachelX + 1 4841 KachelY 3752 0.57140784 0.26083570 32.739258 14.944785
    Unten links KachelX 4840 KachelY + 1 3753 0.57064085 0.26009458 32.695312 14.902322
    Unten rechts KachelX + 1 4841 KachelY + 1 3753 0.57140784 0.26009458 32.739258 14.902322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26083570-0.26009458) × R
    0.000741119999999984 × 6371000     		dl = 4721.6755199999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26083570-0.26009458) × R
    0.000741119999999984 × 6371000     		dr = 4721.6755199999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57064085-0.57140784) × cos(0.26083570) × R
    0.000766990000000023 × 0.966174798481606 × 6371000     		do = 4721.20666974761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57064085-0.57140784) × cos(0.26009458) × R
    0.000766990000000023 × 0.966365659133591 × 6371000     		du = 4722.13930904286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26083570)-sin(0.26009458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966174798481606-0.966365659133591)×R²
    abs(0.57140784-0.57064085)×0.000190860651984481×R²
    0.000766990000000023×0.000190860651984481×6371000²
    0.000766990000000023×0.000190860651984481×40589641000000     		ar = 22294208.7879136m²