Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48393 / 56103
↖ ↑ ↗
← N 25.068185°
W 47.084656°		 ← 276.66 m → N 25.068185°
W 47.081909°		 →
↑
276.63 m
↓
↑
276.63 m
↓
N 25.065697°
W 47.084656°		 ← 276.66 m →
76 532 m²		 N 25.065697°
W 47.081909°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369213104248047 y=0.428035736083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369213104248047 × 217)
    floor (0.369213104248047 × 131072)
    floor (48393.5)     		tx = 48393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428035736083984 × 217)
    floor (0.428035736083984 × 131072)
    floor (56103.5)     		ty = 56103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48393 / 56103 ti = "17/48393/56103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48393/56103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48393 ÷ 217
    48393 ÷ 131072     		x = 0.369209289550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56103 ÷ 217
    56103 ÷ 131072     		y = 0.428031921386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369209289550781 × 2 - 1) × π
    -0.261581420898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.82178227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428031921386719 × 2 - 1) × π
    0.143936157226562 × 3.1415926535     		Φ = 0.45218877411599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82178227} λ = -0.82178227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.45218877411599))-π/2
    2×atan(1.57174862603169)-π/2
    2×1.00415934693248-π/2
    2.00831869386495-1.57079632675     		φ = 0.43752237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82178227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.084656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43752237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.068185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48393 KachelY 56103 -0.82178227 0.43752237 -47.084656 25.068185
    Oben rechts KachelX + 1 48394 KachelY 56103 -0.82173433 0.43752237 -47.081909 25.068185
    Unten links KachelX 48393 KachelY + 1 56104 -0.82178227 0.43747895 -47.084656 25.065697
    Unten rechts KachelX + 1 48394 KachelY + 1 56104 -0.82173433 0.43747895 -47.081909 25.065697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43752237-0.43747895) × R
    4.34200000000162e-05 × 6371000     		dl = 276.628820000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43752237-0.43747895) × R
    4.34200000000162e-05 × 6371000     		dr = 276.628820000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82178227--0.82173433) × cos(0.43752237) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.905804205561421 × 6371000     		do = 276.655919779169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82178227--0.82173433) × cos(0.43747895) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.905822601610466 × 6371000     		du = 276.661538406061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43752237)-sin(0.43747895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905804205561421-0.905822601610466)×R²
    abs(-0.82173433--0.82178227)×1.83960490445223e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.83960490445223e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.83960490445223e-05×40589641000000     		ar = 76531.7777836986m²