Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48388 / 56580
↖ ↑ ↗
← N 23.875792°
W 47.098388°		 ← 279.23 m → N 23.875792°
W 47.095642°		 →
↑
279.24 m
↓
↑
279.24 m
↓
N 23.873281°
W 47.098388°		 ← 279.24 m →
77 973 m²		 N 23.873281°
W 47.095642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369174957275391 y=0.431674957275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369174957275391 × 217)
    floor (0.369174957275391 × 131072)
    floor (48388.5)     		tx = 48388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431674957275391 × 217)
    floor (0.431674957275391 × 131072)
    floor (56580.5)     		ty = 56580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48388 / 56580 ti = "17/48388/56580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48388/56580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48388 ÷ 217
    48388 ÷ 131072     		x = 0.369171142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56580 ÷ 217
    56580 ÷ 131072     		y = 0.431671142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369171142578125 × 2 - 1) × π
    -0.26165771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.82202195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431671142578125 × 2 - 1) × π
    0.13665771484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.429322872997223
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82202195} λ = -0.82202195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.429322872997223))-π/2
    2×atan(1.53621695730637)-π/2
    2×0.993753753620342-π/2
    1.98750750724068-1.57079632675     		φ = 0.41671118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82202195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.098388°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41671118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.875792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48388 KachelY 56580 -0.82202195 0.41671118 -47.098388 23.875792
    Oben rechts KachelX + 1 48389 KachelY 56580 -0.82197402 0.41671118 -47.095642 23.875792
    Unten links KachelX 48388 KachelY + 1 56581 -0.82202195 0.41666735 -47.098388 23.873281
    Unten rechts KachelX + 1 48389 KachelY + 1 56581 -0.82197402 0.41666735 -47.095642 23.873281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41671118-0.41666735) × R
    4.38300000000225e-05 × 6371000     		dl = 279.240930000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41671118-0.41666735) × R
    4.38300000000225e-05 × 6371000     		dr = 279.240930000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82202195--0.82197402) × cos(0.41671118) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.914425050493608 × 6371000     		do = 279.230689701752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82202195--0.82197402) × cos(0.41666735) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.914442790038665 × 6371000     		du = 279.236106685241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41671118)-sin(0.41666735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914425050493608-0.914442790038665)×R²
    abs(-0.82197402--0.82202195)×1.77395450570161e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.77395450570161e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.77395450570161e-05×40589641000000     		ar = 77973.3938111412m²