Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48370 / 83078
↖ ↑ ↗
← S 43.337165°
W 47.147827°		 ← 222.14 m → S 43.337165°
W 47.145080°		 →
↑
222.09 m
↓
↑
222.09 m
↓
S 43.339162°
W 47.147827°		 ← 222.14 m →
49 336 m²		 S 43.339162°
W 47.145080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.369037628173828 y=0.633838653564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.369037628173828 × 217)
    floor (0.369037628173828 × 131072)
    floor (48370.5)     		tx = 48370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633838653564453 × 217)
    floor (0.633838653564453 × 131072)
    floor (83078.5)     		ty = 83078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48370 / 83078 ti = "17/48370/83078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48370/83078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48370 ÷ 217
    48370 ÷ 131072     		x = 0.369033813476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83078 ÷ 217
    83078 ÷ 131072     		y = 0.633834838867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.369033813476562 × 2 - 1) × π
    -0.261932373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.82288482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633834838867188 × 2 - 1) × π
    -0.267669677734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.840909093135025
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82288482} λ = -0.82288482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.840909093135025))-π/2
    2×atan(0.431318236695518)-π/2
    2×0.407210055807304-π/2
    0.814420111614609-1.57079632675     		φ = -0.75637622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82288482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.147827°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75637622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.337165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48370 KachelY 83078 -0.82288482 -0.75637622 -47.147827 -43.337165
    Oben rechts KachelX + 1 48371 KachelY 83078 -0.82283688 -0.75637622 -47.145080 -43.337165
    Unten links KachelX 48370 KachelY + 1 83079 -0.82288482 -0.75641108 -47.147827 -43.339162
    Unten rechts KachelX + 1 48371 KachelY + 1 83079 -0.82283688 -0.75641108 -47.145080 -43.339162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75637622--0.75641108) × R
    3.48599999999699e-05 × 6371000     		dl = 222.093059999808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75637622--0.75641108) × R
    3.48599999999699e-05 × 6371000     		dr = 222.093059999808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82288482--0.82283688) × cos(-0.75637622) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.727327745842511 × 6371000     		do = 222.144614996335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82288482--0.82283688) × cos(-0.75641108) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.72730382132138 × 6371000     		du = 222.137307831765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75637622)-sin(-0.75641108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727327745842511-0.72730382132138)×R²
    abs(-0.82283688--0.82288482)×2.39245211306471e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39245211306471e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39245211306471e-05×40589641000000     		ar = 49335.965876825m²