Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48364 / 50826
↖ ↑ ↗
← S 69.918987°
E 85.671387°		 ← 209.73 m → S 69.918987°
E 85.676880°		 →
↑
209.73 m
↓
↑
209.73 m
↓
S 69.920873°
E 85.671387°		 ← 209.72 m →
43 986 m²		 S 69.920873°
E 85.676880°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.737983703613281 y=0.775550842285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.737983703613281 × 216)
    floor (0.737983703613281 × 65536)
    floor (48364.5)     		tx = 48364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775550842285156 × 216)
    floor (0.775550842285156 × 65536)
    floor (50826.5)     		ty = 50826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48364 / 50826 ti = "16/48364/50826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48364/50826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48364 ÷ 216
    48364 ÷ 65536     		x = 0.73797607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50826 ÷ 216
    50826 ÷ 65536     		y = 0.775543212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.73797607421875 × 2 - 1) × π
    0.4759521484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.49524777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775543212890625 × 2 - 1) × π
    -0.55108642578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.73128906667795
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.49524777} λ = 1.49524777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73128906667795))-π/2
    2×atan(0.177056025777317)-π/2
    2×0.175239898610533-π/2
    0.350479797221065-1.57079632675     		φ = -1.22031653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.49524777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.671387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22031653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.918987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48364 KachelY 50826 1.49524777 -1.22031653 85.671387 -69.918987
    Oben rechts KachelX + 1 48365 KachelY 50826 1.49534365 -1.22031653 85.676880 -69.918987
    Unten links KachelX 48364 KachelY + 1 50827 1.49524777 -1.22034945 85.671387 -69.920873
    Unten rechts KachelX + 1 48365 KachelY + 1 50827 1.49534365 -1.22034945 85.676880 -69.920873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22031653--1.22034945) × R
    3.29199999999918e-05 × 6371000     		dl = 209.733319999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22031653--1.22034945) × R
    3.29199999999918e-05 × 6371000     		dr = 209.733319999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.49524777-1.49534365) × cos(-1.22031653) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.343348475986608 × 6371000     		do = 209.734924712027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.49524777-1.49534365) × cos(-1.22034945) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.343317557070458 × 6371000     		du = 209.716037846336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22031653)-sin(-1.22034945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343348475986608-0.343317557070458)×R²
    abs(1.49534365-1.49524777)×3.09189161498136e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.09189161498136e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.09189161498136e-05×40589641000000     		ar = 43986.4214808769m²