Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48362 / 54242
↖ ↑ ↗
← N 29.606894°
W 47.169800°		 ← 265.49 m → N 29.606894°
W 47.167053°		 →
↑
265.54 m
↓
↑
265.54 m
↓
N 29.604506°
W 47.169800°		 ← 265.50 m →
70 501 m²		 N 29.604506°
W 47.167053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.368976593017578 y=0.413837432861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.368976593017578 × 217)
    floor (0.368976593017578 × 131072)
    floor (48362.5)     		tx = 48362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413837432861328 × 217)
    floor (0.413837432861328 × 131072)
    floor (54242.5)     		ty = 54242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48362 / 54242 ti = "17/48362/54242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48362/54242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48362 ÷ 217
    48362 ÷ 131072     		x = 0.368972778320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54242 ÷ 217
    54242 ÷ 131072     		y = 0.413833618164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.368972778320312 × 2 - 1) × π
    -0.262054443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.82326831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.413833618164062 × 2 - 1) × π
    0.172332763671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.541399344308914
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82326831} λ = -0.82326831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.541399344308914))-π/2
    2×atan(1.71840982751733)-π/2
    2×1.04376705659839-π/2
    2.08753411319678-1.57079632675     		φ = 0.51673779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82326831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.169800°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51673779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.606894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48362 KachelY 54242 -0.82326831 0.51673779 -47.169800 29.606894
    Oben rechts KachelX + 1 48363 KachelY 54242 -0.82322038 0.51673779 -47.167053 29.606894
    Unten links KachelX 48362 KachelY + 1 54243 -0.82326831 0.51669611 -47.169800 29.604506
    Unten rechts KachelX + 1 48363 KachelY + 1 54243 -0.82322038 0.51669611 -47.167053 29.604506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51673779-0.51669611) × R
    4.16799999999329e-05 × 6371000     		dl = 265.543279999572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51673779-0.51669611) × R
    4.16799999999329e-05 × 6371000     		dr = 265.543279999572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82326831--0.82322038) × cos(0.51673779) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.869435486489267 × 6371000     		do = 265.492585108563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82326831--0.82322038) × cos(0.51669611) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.869456077591786 × 6371000     		du = 265.498872849428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51673779)-sin(0.51669611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869435486489267-0.869456077591786)×R²
    abs(-0.82322038--0.82326831)×2.0591102519063e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.0591102519063e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.0591102519063e-05×40589641000000     		ar = 70500.6067091427m²