Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48351 / 54240
↖ ↑ ↗
← N 29.611670°
W 47.200012°		 ← 265.54 m → N 29.611670°
W 47.197265°		 →
↑
265.54 m
↓
↑
265.54 m
↓
N 29.609282°
W 47.200012°		 ← 265.54 m →
70 512 m²		 N 29.609282°
W 47.197265°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.368892669677734 y=0.413822174072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.368892669677734 × 217)
    floor (0.368892669677734 × 131072)
    floor (48351.5)     		tx = 48351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413822174072266 × 217)
    floor (0.413822174072266 × 131072)
    floor (54240.5)     		ty = 54240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48351 / 54240 ti = "17/48351/54240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48351/54240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48351 ÷ 217
    48351 ÷ 131072     		x = 0.368888854980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54240 ÷ 217
    54240 ÷ 131072     		y = 0.413818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.368888854980469 × 2 - 1) × π
    -0.262222290039062 × 3.1415926535     		Λ = -0.82379562
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.413818359375 × 2 - 1) × π
    0.17236328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.541495218108154
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82379562} λ = -0.82379562}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.541495218108154))-π/2
    2×atan(1.71857458589402)-π/2
    2×1.04380873365302-π/2
    2.08761746730604-1.57079632675     		φ = 0.51682114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82379562} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.200012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51682114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.611670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48351 KachelY 54240 -0.82379562 0.51682114 -47.200012 29.611670
    Oben rechts KachelX + 1 48352 KachelY 54240 -0.82374768 0.51682114 -47.197265 29.611670
    Unten links KachelX 48351 KachelY + 1 54241 -0.82379562 0.51677946 -47.200012 29.609282
    Unten rechts KachelX + 1 48352 KachelY + 1 54241 -0.82374768 0.51677946 -47.197265 29.609282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51682114-0.51677946) × R
    4.16800000000439e-05 × 6371000     		dl = 265.54328000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51682114-0.51677946) × R
    4.16800000000439e-05 × 6371000     		dr = 265.54328000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82379562--0.82374768) × cos(0.51682114) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.869394304694246 × 6371000     		do = 265.535398862851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82379562--0.82374768) × cos(0.51677946) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.869414898817172 × 6371000     		du = 265.541688838086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51682114)-sin(0.51677946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869394304694246-0.869414898817172)×R²
    abs(-0.82374768--0.82379562)×2.05941229265427e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.05941229265427e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.05941229265427e-05×40589641000000     		ar = 70511.9759108079m²