Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48350 / 56119
↖ ↑ ↗
← N 25.028373°
W 47.202759°		 ← 276.75 m → N 25.028373°
W 47.200012°		 →
↑
276.69 m
↓
↑
276.69 m
↓
N 25.025884°
W 47.202759°		 ← 276.75 m →
76 574 m²		 N 25.025884°
W 47.200012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.368885040283203 y=0.428157806396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.368885040283203 × 217)
    floor (0.368885040283203 × 131072)
    floor (48350.5)     		tx = 48350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428157806396484 × 217)
    floor (0.428157806396484 × 131072)
    floor (56119.5)     		ty = 56119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48350 / 56119 ti = "17/48350/56119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48350/56119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48350 ÷ 217
    48350 ÷ 131072     		x = 0.368881225585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56119 ÷ 217
    56119 ÷ 131072     		y = 0.428153991699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.368881225585938 × 2 - 1) × π
    -0.262237548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.82384356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428153991699219 × 2 - 1) × π
    0.143692016601562 × 3.1415926535     		Φ = 0.451421783722069
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82384356} λ = -0.82384356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.451421783722069))-π/2
    2×atan(1.57054357212533)-π/2
    2×1.00381191894875-π/2
    2.00762383789751-1.57079632675     		φ = 0.43682751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82384356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.202759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43682751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.028373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48350 KachelY 56119 -0.82384356 0.43682751 -47.202759 25.028373
    Oben rechts KachelX + 1 48351 KachelY 56119 -0.82379562 0.43682751 -47.200012 25.028373
    Unten links KachelX 48350 KachelY + 1 56120 -0.82384356 0.43678408 -47.202759 25.025884
    Unten rechts KachelX + 1 48351 KachelY + 1 56120 -0.82379562 0.43678408 -47.200012 25.025884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43682751-0.43678408) × R
    4.34299999999554e-05 × 6371000     		dl = 276.692529999716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43682751-0.43678408) × R
    4.34299999999554e-05 × 6371000     		dr = 276.692529999716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82384356--0.82379562) × cos(0.43682751) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.906098396626818 × 6371000     		do = 276.745773303019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82384356--0.82379562) × cos(0.43678408) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.906116769572565 × 6371000     		du = 276.75138487357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43682751)-sin(0.43678408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906098396626818-0.906116769572565)×R²
    abs(-0.82379562--0.82384356)×1.83729457479131e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.83729457479131e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.83729457479131e-05×40589641000000     		ar = 76574.2645337572m²