Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48341 / 81537
↖ ↑ ↗
← S 40.180972°
W 47.227478°		 ← 233.35 m → S 40.180972°
W 47.224731°		 →
↑
233.37 m
↓
↑
233.37 m
↓
S 40.183070°
W 47.227478°		 ← 233.34 m →
54 456 m²		 S 40.183070°
W 47.224731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.368816375732422 y=0.622081756591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.368816375732422 × 217)
    floor (0.368816375732422 × 131072)
    floor (48341.5)     		tx = 48341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622081756591797 × 217)
    floor (0.622081756591797 × 131072)
    floor (81537.5)     		ty = 81537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48341 / 81537 ti = "17/48341/81537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48341/81537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48341 ÷ 217
    48341 ÷ 131072     		x = 0.368812561035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81537 ÷ 217
    81537 ÷ 131072     		y = 0.622077941894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.368812561035156 × 2 - 1) × π
    -0.262374877929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.82427499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.622077941894531 × 2 - 1) × π
    -0.244155883789062 × 3.1415926535     		Φ = -0.767038330820519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82427499} λ = -0.82427499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.767038330820519))-π/2
    2×atan(0.464386392507474)-π/2
    2×0.434753036440471-π/2
    0.869506072880941-1.57079632675     		φ = -0.70129025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82427499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.227478°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70129025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.180972°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48341 KachelY 81537 -0.82427499 -0.70129025 -47.227478 -40.180972
    Oben rechts KachelX + 1 48342 KachelY 81537 -0.82422705 -0.70129025 -47.224731 -40.180972
    Unten links KachelX 48341 KachelY + 1 81538 -0.82427499 -0.70132688 -47.227478 -40.183070
    Unten rechts KachelX + 1 48342 KachelY + 1 81538 -0.82422705 -0.70132688 -47.224731 -40.183070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70129025--0.70132688) × R
    3.6629999999982e-05 × 6371000     		dl = 233.369729999885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70129025--0.70132688) × R
    3.6629999999982e-05 × 6371000     		dr = 233.369729999885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82427499--0.82422705) × cos(-0.70129025) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.764010349010614 × 6371000     		do = 233.348426214612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82427499--0.82422705) × cos(-0.70132688) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.763986714675967 × 6371000     		du = 233.341207680464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70129025)-sin(-0.70132688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764010349010614-0.763986714675967)×R²
    abs(-0.82422705--0.82427499)×2.36343346466938e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.36343346466938e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.36343346466938e-05×40589641000000     		ar = 54455.6169339305m²