Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48340 / 58376
↖ ↑ ↗
← N 19.290405°
W 47.230225°		 ← 288.28 m → N 19.290405°
W 47.227478°		 →
↑
288.22 m
↓
↑
288.22 m
↓
N 19.287813°
W 47.230225°		 ← 288.28 m →
83 089 m²		 N 19.287813°
W 47.227478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.368808746337891 y=0.445377349853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.368808746337891 × 217)
    floor (0.368808746337891 × 131072)
    floor (48340.5)     		tx = 48340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445377349853516 × 217)
    floor (0.445377349853516 × 131072)
    floor (58376.5)     		ty = 58376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48340 / 58376 ti = "17/48340/58376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48340/58376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48340 ÷ 217
    48340 ÷ 131072     		x = 0.368804931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58376 ÷ 217
    58376 ÷ 131072     		y = 0.44537353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.368804931640625 × 2 - 1) × π
    -0.26239013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.82432293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44537353515625 × 2 - 1) × π
    0.1092529296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.343228201279602
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82432293} λ = -0.82432293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.343228201279602))-π/2
    2×atan(1.4094903727357)-π/2
    2×0.95373870962008-π/2
    1.90747741924016-1.57079632675     		φ = 0.33668109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82432293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.230225°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33668109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.290405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48340 KachelY 58376 -0.82432293 0.33668109 -47.230225 19.290405
    Oben rechts KachelX + 1 48341 KachelY 58376 -0.82427499 0.33668109 -47.227478 19.290405
    Unten links KachelX 48340 KachelY + 1 58377 -0.82432293 0.33663585 -47.230225 19.287813
    Unten rechts KachelX + 1 48341 KachelY + 1 58377 -0.82427499 0.33663585 -47.227478 19.287813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33668109-0.33663585) × R
    4.52400000000019e-05 × 6371000     		dl = 288.224040000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33668109-0.33663585) × R
    4.52400000000019e-05 × 6371000     		dr = 288.224040000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82432293--0.82427499) × cos(0.33668109) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.943856284847703 × 6371000     		do = 288.278004253071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82432293--0.82427499) × cos(0.33663585) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.943871229202793 × 6371000     		du = 288.282568643784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33668109)-sin(0.33663585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943856284847703-0.943871229202793)×R²
    abs(-0.82427499--0.82432293)×1.49443550900852e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49443550900852e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49443550900852e-05×40589641000000     		ar = 83089.3088266964m²