Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48338 / 50941
↖ ↑ ↗
← S 70.134765°
E 85.528564°		 ← 207.57 m → S 70.134765°
E 85.534058°		 →
↑
207.57 m
↓
↑
207.57 m
↓
S 70.136632°
E 85.528564°		 ← 207.55 m →
43 083 m²		 S 70.136632°
E 85.534058°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.737586975097656 y=0.777305603027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.737586975097656 × 216)
    floor (0.737586975097656 × 65536)
    floor (48338.5)     		tx = 48338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777305603027344 × 216)
    floor (0.777305603027344 × 65536)
    floor (50941.5)     		ty = 50941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48338 / 50941 ti = "16/48338/50941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48338/50941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48338 ÷ 216
    48338 ÷ 65536     		x = 0.737579345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50941 ÷ 216
    50941 ÷ 65536     		y = 0.777297973632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.737579345703125 × 2 - 1) × π
    0.47515869140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.49275505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777297973632812 × 2 - 1) × π
    -0.554595947265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.74231455359056
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.49275505} λ = 1.49275505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74231455359056))-π/2
    2×atan(0.175114619026304)-π/2
    2×0.173356877411856-π/2
    0.346713754823712-1.57079632675     		φ = -1.22408257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.49275505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.528564°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22408257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.134765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48338 KachelY 50941 1.49275505 -1.22408257 85.528564 -70.134765
    Oben rechts KachelX + 1 48339 KachelY 50941 1.49285093 -1.22408257 85.534058 -70.134765
    Unten links KachelX 48338 KachelY + 1 50942 1.49275505 -1.22411515 85.528564 -70.136632
    Unten rechts KachelX + 1 48339 KachelY + 1 50942 1.49285093 -1.22411515 85.534058 -70.136632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22408257--1.22411515) × R
    3.25800000000598e-05 × 6371000     		dl = 207.567180000381m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22408257--1.22411515) × R
    3.25800000000598e-05 × 6371000     		dr = 207.567180000381m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.49275505-1.49285093) × cos(-1.22408257) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.33980895427443 × 6371000     		do = 207.572802635652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.49275505-1.49285093) × cos(-1.22411515) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.339778312783798 × 6371000     		du = 207.55408523575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22408257)-sin(-1.22411515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33980895427443-0.339778312783798)×R²
    abs(1.49285093-1.49275505)×3.06414906323105e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.06414906323105e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.06414906323105e-05×40589641000000     		ar = 43083.3587325316m²