Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48337 / 50943
↖ ↑ ↗
← S 70.138498°
E 85.523071°		 ← 207.51 m → S 70.138498°
E 85.528564°		 →
↑
207.57 m
↓
↑
207.57 m
↓
S 70.140365°
E 85.523071°		 ← 207.50 m →
43 071 m²		 S 70.140365°
E 85.528564°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.737571716308594 y=0.777336120605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.737571716308594 × 216)
    floor (0.737571716308594 × 65536)
    floor (48337.5)     		tx = 48337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777336120605469 × 216)
    floor (0.777336120605469 × 65536)
    floor (50943.5)     		ty = 50943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48337 / 50943 ti = "16/48337/50943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48337/50943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48337 ÷ 216
    48337 ÷ 65536     		x = 0.737564086914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50943 ÷ 216
    50943 ÷ 65536     		y = 0.777328491210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.737564086914062 × 2 - 1) × π
    0.475128173828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.49265918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777328491210938 × 2 - 1) × π
    -0.554656982421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.74250630118904
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.49265918} λ = 1.49265918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74250630118904))-π/2
    2×atan(0.175081044437673)-π/2
    2×0.173324301574006-π/2
    0.346648603148013-1.57079632675     		φ = -1.22414772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.49265918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.523071°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22414772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.138498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48337 KachelY 50943 1.49265918 -1.22414772 85.523071 -70.138498
    Oben rechts KachelX + 1 48338 KachelY 50943 1.49275505 -1.22414772 85.528564 -70.138498
    Unten links KachelX 48337 KachelY + 1 50944 1.49265918 -1.22418030 85.523071 -70.140365
    Unten rechts KachelX + 1 48338 KachelY + 1 50944 1.49275505 -1.22418030 85.528564 -70.140365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22414772--1.22418030) × R
    3.25800000000598e-05 × 6371000     		dl = 207.567180000381m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22414772--1.22418030) × R
    3.25800000000598e-05 × 6371000     		dr = 207.567180000381m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.49265918-1.49275505) × cos(-1.22414772) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.339747680337672 × 6371000     		do = 207.513728036115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.49265918-1.49275505) × cos(-1.22418030) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.339717038125863 × 6371000     		du = 207.495012147897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22414772)-sin(-1.22418030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339747680337672-0.339717038125863)×R²
    abs(1.49275505-1.49265918)×3.06422118088734e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.06422118088734e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.06422118088734e-05×40589641000000     		ar = 43071.0969415823m²