Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48334 / 50853
↖ ↑ ↗
← S 69.969849°
E 85.506592°		 ← 209.20 m → S 69.969849°
E 85.512085°		 →
↑
209.22 m
↓
↑
209.22 m
↓
S 69.971730°
E 85.506592°		 ← 209.18 m →
43 768 m²		 S 69.971730°
E 85.512085°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.737525939941406 y=0.775962829589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.737525939941406 × 216)
    floor (0.737525939941406 × 65536)
    floor (48334.5)     		tx = 48334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775962829589844 × 216)
    floor (0.775962829589844 × 65536)
    floor (50853.5)     		ty = 50853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48334 / 50853 ti = "16/48334/50853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48334/50853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48334 ÷ 216
    48334 ÷ 65536     		x = 0.737518310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50853 ÷ 216
    50853 ÷ 65536     		y = 0.775955200195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.737518310546875 × 2 - 1) × π
    0.47503662109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.49237156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775955200195312 × 2 - 1) × π
    -0.551910400390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73387765925743
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.49237156} λ = 1.49237156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73387765925743))-π/2
    2×atan(0.17659829256084)-π/2
    2×0.174796043784424-π/2
    0.349592087568848-1.57079632675     		φ = -1.22120424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.49237156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.506592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22120424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.969849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48334 KachelY 50853 1.49237156 -1.22120424 85.506592 -69.969849
    Oben rechts KachelX + 1 48335 KachelY 50853 1.49246743 -1.22120424 85.512085 -69.969849
    Unten links KachelX 48334 KachelY + 1 50854 1.49237156 -1.22123708 85.506592 -69.971730
    Unten rechts KachelX + 1 48335 KachelY + 1 50854 1.49246743 -1.22123708 85.512085 -69.971730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22120424--1.22123708) × R
    3.2840000000034e-05 × 6371000     		dl = 209.223640000216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22120424--1.22123708) × R
    3.2840000000034e-05 × 6371000     		dr = 209.223640000216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.49237156-1.49246743) × cos(-1.22120424) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.342514596404065 × 6371000     		do = 209.203726530084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.49237156-1.49246743) × cos(-1.22123708) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.342483742628638 × 6371000     		du = 209.184881421395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22120424)-sin(-1.22123708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342514596404065-0.342483742628638)×R²
    abs(1.49246743-1.49237156)×3.08537754271643e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.08537754271643e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.08537754271643e-05×40589641000000     		ar = 43768.3937491934m²