Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48330 / 54338
↖ ↑ ↗
← N 29.377388°
W 47.257690°		 ← 266.09 m → N 29.377388°
W 47.254944°		 →
↑
266.12 m
↓
↑
266.12 m
↓
N 29.374995°
W 47.257690°		 ← 266.10 m →
70 813 m²		 N 29.374995°
W 47.254944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.368732452392578 y=0.414569854736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.368732452392578 × 217)
    floor (0.368732452392578 × 131072)
    floor (48330.5)     		tx = 48330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414569854736328 × 217)
    floor (0.414569854736328 × 131072)
    floor (54338.5)     		ty = 54338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48330 / 54338 ti = "17/48330/54338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48330/54338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48330 ÷ 217
    48330 ÷ 131072     		x = 0.368728637695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54338 ÷ 217
    54338 ÷ 131072     		y = 0.414566040039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.368728637695312 × 2 - 1) × π
    -0.262542724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.82480229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414566040039062 × 2 - 1) × π
    0.170867919921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.536797401945389
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82480229} λ = -0.82480229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.536797401945389))-π/2
    2×atan(1.71051997278673)-π/2
    2×1.04176424002972-π/2
    2.08352848005944-1.57079632675     		φ = 0.51273215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82480229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.257690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51273215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.377388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48330 KachelY 54338 -0.82480229 0.51273215 -47.257690 29.377388
    Oben rechts KachelX + 1 48331 KachelY 54338 -0.82475436 0.51273215 -47.254944 29.377388
    Unten links KachelX 48330 KachelY + 1 54339 -0.82480229 0.51269038 -47.257690 29.374995
    Unten rechts KachelX + 1 48331 KachelY + 1 54339 -0.82475436 0.51269038 -47.254944 29.374995
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51273215-0.51269038) × R
    4.1770000000052e-05 × 6371000     		dl = 266.116670000332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51273215-0.51269038) × R
    4.1770000000052e-05 × 6371000     		dr = 266.116670000332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82480229--0.82475436) × cos(0.51273215) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.871407478478701 × 6371000     		do = 266.0947565856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82480229--0.82475436) × cos(0.51269038) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.871427968405147 × 6371000     		du = 266.101013431135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51273215)-sin(0.51269038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871407478478701-0.871427968405147)×R²
    abs(-0.82475436--0.82480229)×2.04899264456548e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.04899264456548e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.04899264456548e-05×40589641000000     		ar = 70813.0830628219m²