Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4833 / 3615
↖ ↑ ↗
← N 20.673905°
E 32.387695°		 ← 4 571.83 m → N 20.673905°
E 32.431641°		 →
↑
4 572.47 m
↓
↑
4 572.47 m
↓
N 20.632784°
E 32.387695°		 ← 4 573.06 m →
20 907 356 m²		 N 20.632784°
E 32.431641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.59002685546875 y=0.44134521484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.59002685546875 × 213)
    floor (0.59002685546875 × 8192)
    floor (4833.5)     		tx = 4833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.44134521484375 × 213)
    floor (0.44134521484375 × 8192)
    floor (3615.5)     		ty = 3615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4833 / 3615 ti = "13/4833/3615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4833/3615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4833 ÷ 213
    4833 ÷ 8192     		x = 0.5899658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3615 ÷ 213
    3615 ÷ 8192     		y = 0.4412841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5899658203125 × 2 - 1) × π
    0.179931640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.56527192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4412841796875 × 2 - 1) × π
    0.117431640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.368922379475952
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56527192} λ = 0.56527192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.368922379475952))-π/2
    2×atan(1.44617534642981)-π/2
    2×0.965812021449481-π/2
    1.93162404289896-1.57079632675     		φ = 0.36082772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56527192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.387695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36082772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.673905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4833 KachelY 3615 0.56527192 0.36082772 32.387695 20.673905
    Oben rechts KachelX + 1 4834 KachelY 3615 0.56603891 0.36082772 32.431641 20.673905
    Unten links KachelX 4833 KachelY + 1 3616 0.56527192 0.36011002 32.387695 20.632784
    Unten rechts KachelX + 1 4834 KachelY + 1 3616 0.56603891 0.36011002 32.431641 20.632784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36082772-0.36011002) × R
    0.000717700000000043 × 6371000     		dl = 4572.46670000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36082772-0.36011002) × R
    0.000717700000000043 × 6371000     		dr = 4572.46670000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56527192-0.56603891) × cos(0.36082772) × R
    0.000766989999999912 × 0.935604918681879 × 6371000     		do = 4571.82715722947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56527192-0.56603891) × cos(0.36011002) × R
    0.000766989999999912 × 0.935858060802633 × 6371000     		du = 4573.06413450395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36082772)-sin(0.36011002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935604918681879-0.935858060802633)×R²
    abs(0.56603891-0.56527192)×0.00025314212075378×R²
    0.000766989999999912×0.00025314212075378×6371000²
    0.000766989999999912×0.00025314212075378×40589641000000     		ar = 20907356.350723m²