Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48323 / 54334
↖ ↑ ↗
← N 29.386962°
W 47.276916°		 ← 266.07 m → N 29.386962°
W 47.274170°		 →
↑
266.12 m
↓
↑
266.12 m
↓
N 29.384569°
W 47.276916°		 ← 266.08 m →
70 806 m²		 N 29.384569°
W 47.274170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.368679046630859 y=0.414539337158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.368679046630859 × 217)
    floor (0.368679046630859 × 131072)
    floor (48323.5)     		tx = 48323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414539337158203 × 217)
    floor (0.414539337158203 × 131072)
    floor (54334.5)     		ty = 54334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48323 / 54334 ti = "17/48323/54334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48323/54334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48323 ÷ 217
    48323 ÷ 131072     		x = 0.368675231933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54334 ÷ 217
    54334 ÷ 131072     		y = 0.414535522460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.368675231933594 × 2 - 1) × π
    -0.262649536132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.82513785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414535522460938 × 2 - 1) × π
    0.170928955078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.536989149543869
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82513785} λ = -0.82513785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.536989149543869))-π/2
    2×atan(1.71084799233114)-π/2
    2×1.04184778124566-π/2
    2.08369556249133-1.57079632675     		φ = 0.51289924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82513785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.276916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51289924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.386962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48323 KachelY 54334 -0.82513785 0.51289924 -47.276916 29.386962
    Oben rechts KachelX + 1 48324 KachelY 54334 -0.82508992 0.51289924 -47.274170 29.386962
    Unten links KachelX 48323 KachelY + 1 54335 -0.82513785 0.51285747 -47.276916 29.384569
    Unten rechts KachelX + 1 48324 KachelY + 1 54335 -0.82508992 0.51285747 -47.274170 29.384569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51289924-0.51285747) × R
    4.1769999999941e-05 × 6371000     		dl = 266.116669999624m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51289924-0.51285747) × R
    4.1769999999941e-05 × 6371000     		dr = 266.116669999624m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82513785--0.82508992) × cos(0.51289924) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.871325498662489 × 6371000     		do = 266.069723061886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82513785--0.82508992) × cos(0.51285747) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.871345994670577 × 6371000     		du = 266.075981764523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51289924)-sin(0.51285747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871325498662489-0.871345994670577)×R²
    abs(-0.82508992--0.82513785)×2.04960080882888e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.04960080882888e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.04960080882888e-05×40589641000000     		ar = 70806.421471771m²