Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48322 / 50893
↖ ↑ ↗
← S 70.044973°
E 85.440674°		 ← 208.47 m → S 70.044973°
E 85.446167°		 →
↑
208.46 m
↓
↑
208.46 m
↓
S 70.046848°
E 85.440674°		 ← 208.45 m →
43 456 m²		 S 70.046848°
E 85.446167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.737342834472656 y=0.776573181152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.737342834472656 × 216)
    floor (0.737342834472656 × 65536)
    floor (48322.5)     		tx = 48322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776573181152344 × 216)
    floor (0.776573181152344 × 65536)
    floor (50893.5)     		ty = 50893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48322 / 50893 ti = "16/48322/50893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48322/50893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48322 ÷ 216
    48322 ÷ 65536     		x = 0.737335205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50893 ÷ 216
    50893 ÷ 65536     		y = 0.776565551757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.737335205078125 × 2 - 1) × π
    0.47467041015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.49122107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776565551757812 × 2 - 1) × π
    -0.553131103515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73771261122704
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.49122107} λ = 1.49122107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73771261122704))-π/2
    2×atan(0.175922343535402)-π/2
    2×0.174140462192963-π/2
    0.348280924385927-1.57079632675     		φ = -1.22251540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.49122107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.440674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22251540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.044973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48322 KachelY 50893 1.49122107 -1.22251540 85.440674 -70.044973
    Oben rechts KachelX + 1 48323 KachelY 50893 1.49131695 -1.22251540 85.446167 -70.044973
    Unten links KachelX 48322 KachelY + 1 50894 1.49122107 -1.22254812 85.440674 -70.046848
    Unten rechts KachelX + 1 48323 KachelY + 1 50894 1.49131695 -1.22254812 85.446167 -70.046848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22251540--1.22254812) × R
    3.27199999998751e-05 × 6371000     		dl = 208.459119999204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22251540--1.22254812) × R
    3.27199999998751e-05 × 6371000     		dr = 208.459119999204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.49122107-1.49131695) × cos(-1.22251540) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.341282451122711 × 6371000     		do = 208.472890366682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.49122107-1.49131695) × cos(-1.22254812) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.341251695422948 × 6371000     		du = 208.454103201963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22251540)-sin(-1.22254812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341282451122711-0.341251695422948)×R²
    abs(1.49131695-1.49122107)×3.07556997630742e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.07556997630742e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.07556997630742e-05×40589641000000     		ar = 43456.11709575m²