Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48320 / 83264
↖ ↑ ↗
← S 43.707593°
W 47.285156°		 ← 220.74 m → S 43.707593°
W 47.282410°		 →
↑
220.82 m
↓
↑
220.82 m
↓
S 43.709579°
W 47.285156°		 ← 220.73 m →
48 742 m²		 S 43.709579°
W 47.282410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.368656158447266 y=0.635257720947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.368656158447266 × 217)
    floor (0.368656158447266 × 131072)
    floor (48320.5)     		tx = 48320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635257720947266 × 217)
    floor (0.635257720947266 × 131072)
    floor (83264.5)     		ty = 83264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48320 / 83264 ti = "17/48320/83264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48320/83264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48320 ÷ 217
    48320 ÷ 131072     		x = 0.36865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83264 ÷ 217
    83264 ÷ 131072     		y = 0.63525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36865234375 × 2 - 1) × π
    -0.2626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.82528166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63525390625 × 2 - 1) × π
    -0.2705078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.849825356464356
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82528166} λ = -0.82528166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.849825356464356))-π/2
    2×atan(0.427489583722165)-π/2
    2×0.403977456021723-π/2
    0.807954912043446-1.57079632675     		φ = -0.76284141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82528166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.285156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76284141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.707593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48320 KachelY 83264 -0.82528166 -0.76284141 -47.285156 -43.707593
    Oben rechts KachelX + 1 48321 KachelY 83264 -0.82523373 -0.76284141 -47.282410 -43.707593
    Unten links KachelX 48320 KachelY + 1 83265 -0.82528166 -0.76287607 -47.285156 -43.709579
    Unten rechts KachelX + 1 48321 KachelY + 1 83265 -0.82523373 -0.76287607 -47.282410 -43.709579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76284141--0.76287607) × R
    3.46599999999642e-05 × 6371000     		dl = 220.818859999772m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76284141--0.76287607) × R
    3.46599999999642e-05 × 6371000     		dr = 220.818859999772m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82528166--0.82523373) × cos(-0.76284141) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.72287557907163 × 6371000     		do = 220.738754262873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82528166--0.82523373) × cos(-0.76287607) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.722851629332412 × 6371000     		du = 220.731440921888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76284141)-sin(-0.76287607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72287557907163-0.722851629332412)×R²
    abs(-0.82523373--0.82528166)×2.39497392175991e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39497392175991e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39497392175991e-05×40589641000000     		ar = 48742.4726171164m²